• Главная
  • Скачать
  • Контрольная Используя метод простой итерации (Якоби) и метод Зейделя, найти решение системы


    Предмет: Математика. Добавлен: 23.03.2022. Год: 2021. Страниц: 9. Оригинальность по antiplagiat.ru: < 30%

    Задача 1. Используя метод простой итерации (Якоби) и метод Зейделя, найти решение системы:



    Решение: 1. Метод простой итерации.
    Вычисляя коэффициенты по формулам

    приведем систему к виду, удобному для итерации. Для этого из первого уравнения систему выразим неизвестное х1, из второго – неизвестное х2, из третьего - неизвестное х3. В результате получим:




    Достаточное условие сходимости выполнено:


    Положим:
    Получим:



    Ответ:


    2. Метод Зейделя
    , значит метод Зейделя сходится.
    Положим и будем вычислять последовательно приближения:
    где:




    В результате:

    Ответ:



    Задача 2
    Аппроксимировать многочленом второй степени по методу наименьших квадратов функцию , заданную в таблице.
    1 0.1 0.40
    2 0.2 0.47
    3 0.3 0.78
    4 0.4 1.01
    5 0.5 1.19
    6 0.6 1.60
    7 0.7 1.93
    8 0.8 2.22
    9 0.9 2.50
    10 1 3.01
    11 1.1 3.22
    12 1.2 3.71
    13 1.3 4.23
    14 1.4 4.78
    15 1.5 5.27
    16 1.6 5.75
    17 1.7 6.16
    18 1.8 6.76
    19 1.9 7.30
    20 2 8.00

    Решение:
    Требуется аппроксимировать многочленом второй степени (m=2)




    Решим систему методом Крамера:
    Найдем матрицу, обратную матрице А. Для этого в ячейку М9 введем формулу =МОБР(M5:O7). После этого выделим диапазон М9:О11, начиная с ячейки, содержащей формулу. Нажмем клавишу F2, а затем нажмем клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. Формула вставится как формула массива.
    Найдем произведение матриц A-1 * b. В ячейки М14:М16 введем формулу: =МУМНОЖ(M9:O11,R5:R7) как формулу массива. Получим в ячейках корни уравнения:


    Получаем:


    Задача 3
    1)Вычислить с погрешностью интеграл




    По составной формуле Симпсона находим:


    2) по формуле Гаусса при n=5
    Сделаем замену:
    Составляем таблицу значений подынтегральной функции:


    По формуле Гаусса получаем:


    Задача 4. Применяя метод Эйлера, найти на отрезке [0; 1] решение дифференциального уравнения с начальным условием выбрав шаг
    Решение: Введем сетку по :

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

    0 0,1 0,2 0,3 0,4 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 1
    Обозначим через Заменим дифференциальное уравнение разностным аналогом:

    Пусть из начального условия тогда и

    Теперь , и

    и т.д. Все дальнейшие вычисления приведены в таблице(файл Excel. Лист: Метод Эйлера):

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

    0 0,1 0,2 0,3 0,4 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 1

    0 0,1 0,1995 0,2975 0 393 0,4851 0,5731 0, 562 0,7339 0,8057 0,8 15

    1 0,995 0,9799 0,9552 0 9214 0,8795 0,8309 0 7768 0,7186 0,6573

    Задача 5. Найти решение уравнения
    удовлетворяющее условиям

    1) по явной схеме, взяв
    Решение: Введем сетку по :

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

    0 0,1 0,2 0,3 0,4 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 1
    Введем сетку по :

    0 1 2 3 4 5

    0 0,002 0,004 0,006 0,0 8 0,01
    Здесь обозначим .
    Используем явную схему:

    Уравнение заменим разностным аналогом:
    отсюда:
    , из граничных условий
    ,



    Вычисления приведены в таблице(файл Excel. Лист: Явная схема)::

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0


    0 0,1 0,2 0,3 0,4 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 1
    0 0 0 0,1267 0,2437 ,3497 0,4435 0,524 0, 906 0,6431 0,6812 0, 053 0,7156
    1 0,002 0 0,1248 0,24 5 0,3473 0,4408 0,521 0,5878 0,6402 0,678 0,7025 0,7156
    2 0,004 0 0,1232 0,23 3 0,3448 0,4382 0,518 0,585 0,6374 0,6756 0,7003 0,7156
    3 0,006 0 0,1218 0,23 2 0,3424 0,4356 0,51 7 0,5821 0,6345 0,67 9 0,6984 0,7156
    4 0,008 0 0,1205 0,23 2 0,34 0,433 0,513 0, 793 0,6317 0,6703 0, 967 0,7156
    5 0,01 0 0,1193 0,2332 0,3376 0,4304 0,5102 ,5765 0,629 0,6679 0, 952 0,7156

    2) по неявной схеме, взяв
    Решение: Введем сетку по :

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

    0 0,1 0,2 0,3 0,4 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 1
    Введем сетку по :

    0 1

    0 0,01
    Всего один слой!
    3) по неявной схеме, взяв
    Введем сетку по :

    0 1 2 3 4 5

    0 0,002 0,004 0,006 0,0 8 0,01
    Неявная схема:


    Уравнение заменим разностным аналогом:
    отсюда (обозначая ):


    Решим методом прогонки.
    Прямой ход (найдем прогоночные коэффициенты): (файл Excel. Лист: Неявная схема)::

    1 2 3 4 5 6 7 8 9
    j=0 a= 0,1429 0,1458 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459
    b= 0,6333 1,3092 1,93 7 2,5003 2,9846 3,3886 3,7098 3,9474 4,1023
    Обратный ход (получение решения нового слоя):

    Затем найдем решение 1-го слоя:
    i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    j x/t 0 0,1 0,2 0,3 ,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 9 1
    0 0 0 0,1267 0,2437 ,3497 0,4435 0,524 0, 906 0,6431 0,6812 0, 053 0,7156
    1 0,002 0 0,125 0,241 0,3473 0,4408 0,5212 0,5878 0,6402 0,6785 0,7029 0,7156
    Далее:
    1 2 3 4 5 6 7 8 9
    j=1 a= 0,1429 0,1458 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459
    b= 0,6249 1,2972 1, 257 2,4851 2,9686 3, 721 3,6932 3,9312 4, 881
    Решение 2-го слоя:
    i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    j x/t 0 0,1 0,2 0,3 ,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 9 1
    0 0 0 0,1267 0,2437 ,3497 0,4435 0,524 0, 906 0,6431 0,6812 0, 053 0,7156
    1 0,002 0 0,125 0,241 0,3473 0,4408 0,5212 0,5878 0,6402 0,6785 0,7029 0,7156
    2 0,004 0 0,1235 0,23 5 0,3449 0,4382 0,518 0,585 0,6374 0,6758 0,7009 0,7156

    1 2 3 4 5 6 7 8 9
    j=2 a= 0,1429 0,1458 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459
    b= 0,6174 1,2855 1,9 19 2,47 2,9527 3,3557 ,6767 3,9155 4,0755
    Решение 3-го слоя:
    i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    j x/t 0 0,1 0,2 0,3 ,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 9 1
    0 0 0 0,1267 0,2437 ,3497 0,4435 0,524 0, 906 0,6431 0,6812 0, 053 0,7156
    1 0,002 0 0,125 0,241 0,3473 0,4408 0,5212 0,5878 0,6402 0,6785 0,7029 0,7156
    2 0,004 0 0,1235 0,23 5 0,3449 0,4382 0,518 0,585 0,6374 0,6758 0,7009 0,7156
    3 0,006 0 0,1221 0,237 0,3425 0,4356 0,515 0,5822 0,6347 0,6732 0,699 0,7156

    1 2 3 4 5 6 7 8 9
    j=3 a= 0,1429 0,1458 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459
    b= 0,6106 1,2743 1, 983 2,455 2,9368 3,339 3,6605 3,9003 4,0641
    Решение 4-го слоя:
    i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    j x/t 0 0,1 0,2 0,3 ,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 9 1
    0 0 0 0,1267 0,2437 ,3497 0,4435 0,524 0, 906 0,6431 0,6812 0, 053 0,7156
    1 0,002 0 0,125 0,241 0,3473 0,4408 0,5212 0,5878 0,6402 0,6785 0,7029 0,7156
    2 0,004 0 0,1235 0,23 5 0,3449 0,4382 0,518 0,585 0,6374 0,6758 0,7009 0,7156
    3 0,006 0 0,1221 0,237 0,3425 0,4356 0,515 0,5822 0,6347 0,6732 0,699 0,7156
    4 0,008 0 0,1209 0,23 4 0,3401 0,433 0,513 ,5794 0,6319 0,6708 ,6973 0,7156

    1 2 3 4 5 6 7 8 9
    j=4 a= 0,1429 0,1458 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459
    b= 0,6043 1,2635 1, 849 2,4402 2,9211 3,323 3,6445 3,8856 4,0536
    Решение 5-го слоя (конец решения):
    i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    j x/t 0 0,1 0,2 0,3 ,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 9 1
    0 0 0 0,1267 0,2437 ,3497 0,4435 0,524 0, 906 0,6431 0,6812 0, 053 0,7156
    1 0,002 0 0,125 0,241 0,3473 0,4408 0,5212 0,5878 0,6402 0,6785 0,7029 0,7156
    2 0,004 0 0,1235 0,23 5 0,3449 0,4382 0,518 0,585 0,6374 0,6758 0,7009 0,7156
    3 0,006 0 0,1221 0,237 0,3425 0,4356 0,515 0,5822 0,6347 0,6732 0,699 0,7156
    4 0,008 0 0,1209 0,23 4 0,3401 0,433 0,513 ,5794 0,6319 0,6708 ,6973 0,7156
    5 0,01 0 0,1197 0,2335 0,3378 0,4305 0,5103 ,5767 0,6292 0,6684 0 6958 0,7156

    Сравним отличия методов, для этого в каждой ячейке вычислим разность решений по абсолютной величине:

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
    0 2E-04 4E-05 2E-05 E-05 1E-05 1E-05 2E- 5 7E-05 4E-04 0
    0 3E-04 1E-04 4E-05 E-05 2E-05 3E-05 5E- 5 2E-04 5E-04 0
    0 4E-04 2E-04 9E-05 E-05 4E-05 5E-05 1E- 4 3E-04 6E-04 0
    0 4E-04 3E-04 1E-04 E-05 6E-05 8E-05 2E- 4 5E-04 6E-04 0
    0 4E-04 3E-04 2E-04 E-04 8E-05 1E-04 3E- 4 5E-04 6E-04 0

    Вывод: В данном случае методы сильно не отличаются, особенно в середине таблицы.
    Перейти к полному тексту работы