Предмет: Математика. Добавлен: 25.05.2022. Год: 2018. Страниц: 14. Оригинальность по antiplagiat.ru: < 30% |
|
Министерство образования и науки РФ Архангельский государственный технический университет Институт информационных технологий Расчетно-графическая работа по дисциплине «Математические методы в инженерных расчетах» Архангельск 2018 Задание №1. Задача о выпуске продукции при ограниченных ресурсах. Мебельная фабрика выпускает два вида изделий: шкафы и столы. В производстве применяется оборудование трех видов: фрезерные, сверлильные и шлифовальные станки. Нормы времени работы каждого вида оборудования в час, необходимые для изготовления одного изделия каждого вида, а также ресурсы рабочего времени для каждого вида оборудования приведены в таблице 1: Таблица 1. Изделие Станки Прибыль Фрезерные Сверлильн е Шлифовальные Шкафы А1 = 4 А2 = 5 А3 = 4 С1 = 5 Столы В1 = 5 В2 = 5 В3 = 0 С2 = 6 Ресурс времени Т1 = 250 Т2 = 275 Т3 = 171 Фабрика получает прибыль от изготовления одного шкафа в размере С1 и одного стула С2. Требуется определить план выпуска изделий каждого вида, при котором время работы оборудования не превышало бы допустимого ресурса и была получена наибольшая общая прибыль. Провести анализ на основе теорем двойственности. Решение: Целевая функция, обеспечивающая максимальную прибыль будет выглядеть так: Z = 5X1 + 6X2 a max, где Х1 – количество шкафов в плане выпуска, а Х2 – стульев. Система ограничений будет выглядеть так: А1Х1 + В1Х2 =< T1 А2Х1 + В2Х2 =< T2 А3Х1 + В3Х2 =< T3 X1 >= 0 ; X2 >= 0 Для решения приведём задачу к каноническому виду. Z = 5X1 + 6X2 a max 4Х1 + 5Х2 + Х3 = 250 5Х1 + 5Х2 + Х4 = 275 4Х1 + 0Х2 + Х5 = 171 Xj >= 0, j = 1..5 Решим задачу симплексным методом. Таблица 2. Решением задачи будет: X1 = 0, X2 = 50, X3 = 0, X4 = 25, X5 = 171. Z = 300. Составим задачу, двойственную данной: F = T1Y1 + T2Y2 + T3Y3 a min A1Y1 + A2Y2 + A3Y3 >= C1 B1Y1 + B2Y2 + B3Y3 >= C2 Y1, Y2, Y3 >= 0 Ее решение: Y1 = 1,2; Y2 = 0; Y3 = 0; Y4 =9,8; Y5 = 12 F = 300. 4*1.2 + 5*0 + 4*0 >= 5 5*1.2 + 5*0 + 0*0 >= 6 Значения целевых функций прямой и двойственной задачи совпадают. По второй теореме двойственности следует: Так как Y1 = 1,2 > 0 , значит данный ресурс будет использован полностью (4*0 + 5*50 = 250 = 250). Так как Y2 = 0, значит данный ресурс избыточнен (5*0 + 5*50 = 250 <= 275). Так как Y3 = 0, значит данный ресурс избыточнен (4*0 + 50 = 50 <= 171). По третьей теореме двойственности: При изменении первого ресурса (Т1 = 250) на единицу, значение целевой функции изменяется на Y1 = 1,2. При изменении второго ресурса (Т2 = 275) на единицу, значение целевой функции не изменится. При изменении третьего ресурса (Т3 = 171) на единицу, значение целевой функции не изменится. Задание №2 (17 - вариант). Задача максимального раскроя древесностружечных плит. Плиты размером А * В подлежат раскрою на заготовки двух типоразмеров: А1 * В1 и А2 * В2 . Требуется получить не менее N1 заготовок первого размера и N2 второго типоразмера, при этом количество плит подлежащих раскрою должно быть минимальным. Исходные данные: Таблица 3. А В А1 В1 А2 В2 N1 N 260 140 195 60 120 7 90 57 Решение: Количество плит, раскроенных по первому варианту. Количество плит, раскроенных по второму варианту. Количество плит, раскроенных по третьему варианту. Целевая функция: Z = X1 + X2 + X3 a min Уравнения количества плит, подлежащих раскрою: 2X1 + X3 >=90 3X2 + 2X3>= 57, где X1, X2, X3 >= 0 Задание №3 (8 - вариант). Производственное объединение выделяет 4 входящим в неё предприятиям кредит 100 млн. денежных единиц. По каждому предприятию известен возможный прирост выпуска продукции в денежном эквиваленте Zi(ui) в зависимости от выделенной ему суммы Ui. Требуется так распределить кредит между предприятиями, чтобы общий прирост выпуска продукции, который равен сумме прироста по каждому предприятию, был максимальный. Исходные данные: Таблица 5. Предприятия №1 №2 №3 №4 Zi(Ui) Z1(u1) Z2(u1) Z3(u1 Z4(u1) 20 14 12 13 7 40 24 30 25 33 60 37 42 45 46 80 45 56 62 60 100 56 71 70 68 Таблица 6. X3 U4 Z4 F4 0 0 0 0 20 20 7 7 40 40 33 33 60 60 46 46 80 80 60 60 100 100 68 68 Решение: Таблица 7. X2 U3 X3 Z3 F4 Z3+F4 F3 0 0 0 0 0 0 0 20 0 20 20 0 0 13 7 0 7 13 - 13 40 0 20 40 40 20 0 0 13 25 33 7 0 33 20 25 33 - - 60 0 20 40 60 60 40 20 0 0 13 25 45 46 33 7 0 46 46 32 45 46 46 - - 80 0 20 40 60 80 80 60 40 20 0 0 13 25 45 62 60 46 33 7 0 60 59 58 52 62 - - - - 62 100 0 20 40 60 80 100 100 80 60 40 20 0 0 13 25 45 62 70 68 60 46 33 7 0 68 73 71 78 69 70 - - - 78 - - Таблица 8. X1 U2 X2 Z2 F3 Z2+F3 F2 0 0 0 0 0 0 0 20 0 20 20 0 0 12 13 0 13 12 13 - 40 0 20 40 40 20 0 0 12 30 33 13 0 33 25 30 33 - - 60 0 20 40 60 60 40 20 0 0 12 30 42 46 33 13 0 46 45 43 42 46 - - - 80 0 20 40 60 80 80 60 40 20 0 0 12 30 42 58 62 46 33 13 0 62 58 63 45 58 - - 63 - - 100 0 20 40 60 80 100 100 80 60 40 20 0 0 12 30 42 58 71 78 62 46 33 13 0 78 74 76 75 71 71 78 - - - - - Таблица 9. X0 U1 X1 Z1 F2 Z1+F2 F1 0 0 0 0 0 0 0 20 0 20 20 0 0 14 13 0 13 11 13 - 40 0 20 40 40 20 0 0 14 24 33 13 0 33 27 24 33 - - 60 0 20 40 60 60 40 20 0 0 14 24 37 46 33 13 0 46 47 37 37 - 47 - - 80 0 20 40 60 80 80 60 40 20 0 0 14 24 37 45 63 46 33 13 0 63 60 57 50 45 63 - - - - 100 0 20 40 60 80 100 100 80 60 40 20 0 0 14 24 37 45 58 78 63 46 33 13 0 78 77 70 70 58 58 78 - - - - - Оптимальный план распределения кредита - 100 млн. 4 предприятия: U1* = 0; X1 = 100; U2* = 0; X2 = 100; U3* = 60; X3 = 40; U4* = 40; При кредите в 100 млн. денежных единиц на три предприятия: U1* = 0; X1 = 100; U2* = 60; X2 = 40; U3* = 40; При кредите в 80 млн. денежных единиц на три предприятия: U1* = 40; X1 = 40; U2* = 0; X2 = 40; U3* = 40; Задание №4. В начале планового периода продолжительностью в – N лет имеется оборудование возрастом t. Известны стоимость – r(t) продукции, производимой в течение года с использованием этого оборудования. Ежегодные расходы – u(t), связанные с эксплуатацией оборудования. Его остаточная стоимость – S. Стоимость – р нового оборудования (сюда включены расходы связанные с установкой, наладкой и запуском оборудования). Требуется: 1. Пользуясь функциональными уравнениями составить матрицу максимальных прибылей fn(t) за N лет. 2. Сформировать по матрице максимальных прибылей оптимальные стратегии замены оборудования данных возрастов t и t1 лет в плановом периоде продолжительностью соответственно N и N1 лет. Исходные данные для расчета представлены в таблице 1 и 2. Таблица 10. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r(t) 20 20 19 18 17 6 16 15 15 14 13 u(t) 8 9 9 10 10 10 1 11 12 13 15 Таблица 11. N N1 t t1 S p 10 7 9 4 2 12 Решение. Таблица 12. X9 U10 X10(H) Z10 F1 X8 U9 X9(H) Z9 X9 F 0 Z9+F10 F9 1 Сохр. 1 11 11 1 Сохр 1 11 2 10 21 21 Зам. 0 2 - Зам. 0 2 1 11 13 - 2 Сохр. 2 10 10 2 Со р. 2 10 3 8 18 18 Зам. 0 2 - Зам. 0 2 1 11 13 - 3 Сохр. 3 8 8 3 Сохр 3 8 4 7 15 15 Зам. 0 2 - Зам. 0 2 1 11 13 - 4 Сохр. 4 7 7 4 Сохр 4 7 5 6 13 13 Зам. 0 2 - Зам. 0 2 1 11 13 - 5 Сохр. 5 6 6 5 Сохр 5 6 6 6 12 - Зам. 0 2 - Зам. 0 2 1 11 13 13 6 Сохр. 6 6 6 6 Сохр 6 6 7 4 10 - Зам. 0 2 - Зам. 0 2 1 11 13 13 7 Сохр. 7 4 4 7 Сохр 7 4 8 3 7 - Зам. 0 2 - Зам. 0 2 1 11 13 13 8 Сохр. 8 3 3 8 Сохр 8 3 9 2 5 - Зам. 0 2 - Зам. 0 2 1 11 13 13 9 Сохр. 9 1 - 9 Сохр 9 1 10 2 3 - Зам. 0 2 2 Зам. 0 2 1 11 13 13 10 Сохр. 10 0 - 10 С хр. 10 0 - - - - Зам. 0 2 2 Зам. 0 2 1 11 13 13 X7 U8 X8(H) Z8 X8 F9 Z8+F9 F8 X6 U7 X7(H) Z7 X7 F8 Z7+F8 F7 1 Сохр. 1 11 2 18 29 9 1 Сохр. 1 11 2 25 3 36 Зам. 0 2 1 21 23 - Зам. 0 2 1 29 31 - 2 Сохр. 2 10 3 15 25 25 2 Сохр. 2 10 3 23 33 33 Зам. 0 2 1 21 23 - Зам. 0 2 1 29 31 - 3 Сохр. 3 8 4 13 21 3 Сохр. 3 8 4 23 31 31 Зам. 0 2 1 21 23 23 Зам. 0 2 1 29 31 - 4 Сохр. 4 7 5 13 20 4 Сохр. 4 7 5 23 30 - Зам. 0 2 1 21 23 23 Зам. 0 2 1 29 31 31 5 Сохр. 5 6 6 13 19 5 Сохр. 5 6 6 23 29 - Зам. 0 2 1 21 23 23 Зам. 0 2 1 29 31 31 6 Сохр. 6 6 7 13 19 6 Сохр. 6 6 7 23 29 - Зам. 0 2 1 21 23 23 Зам. 0 2 1 29 31 31 7 Сохр. 7 4 8 13 17 7 Сохр. 7 4 8 23 27 - Зам. 0 2 1 21 23 23 Зам. 0 2 1 29 31 31 8 Сохр. 8 3 9 13 16 8 Сохр. 8 3 9 23 26 - Зам. 0 2 1 21 23 23 Зам. 0 2 1 29 31 31 9 Сохр. 9 1 10 13 14 - 9 Сохр. 9 1 10 23 4 - Зам. 0 2 1 21 23 23 Зам. 0 2 1 29 31 31 10 Сохр. 10 0 - - - 10 Сохр. 10 0 - - - - Зам. 0 2 1 21 23 23 Зам. 0 2 1 29 31 31 X7 U8 X8(H) Z8 X8 F9 Z8+F9 F8 X6 U7 X7(H) Z7 X7 F8 Z7+F8 F7 1 Сохр. 1 11 2 18 29 9 1 Сохр. 1 11 2 25 3 36 Зам. 0 2 1 21 23 - Зам. 0 2 1 29 31 - 2 Сохр. 2 10 3 15 25 25 2 Сохр. 2 10 3 23 33 33 Зам. 0 2 1 21 23 - Зам. 0 2 1 29 31 - 3 Сохр. 3 8 4 13 21 3 Сохр. 3 8 4 23 31 31 Зам. 0 2 1 21 23 23 Зам. 0 2 1 29 31 - 4 Сохр. 4 7 5 13 20 4 Сохр. 4 7 5 23 30 - Зам. 0 2 1 21 23 23 Зам. 0 2 1 29 31 31 5 Сохр. 5 6 6 13 19 5 Сохр. 5 6 6 23 29 - Зам. 0 2 1 21 23 23 Зам. 0 2 1 29 31 31 6 Сохр. 6 6 7 13 19 6 Сохр. 6 6 7 23 29 - Зам. 0 2 1 21 23 23 Зам. 0 2 1 29 31 31 7 Сохр. 7 4 8 13 17 7 Сохр. 7 4 8 23 27 - Зам. 0 2 1 21 23 23 Зам. 0 2 1 29 31 31 8 Сохр. 8 3 9 13 16 8 Сохр. 8 3 9 23 26 - Зам. 0 2 1 21 23 23 Зам. 0 2 1 29 31 31 9 Сохр. 9 1 10 13 14 - 9 Сохр. 9 1 10 23 4 - Зам. 0 2 1 21 23 23 Зам. 0 2 1 29 31 31 10 Сохр. 10 0 - - - 10 Сохр. 10 0 - - - - Зам. 0 2 1 21 23 23 Зам. 0 2 1 29 31 31 X3 U4 X4(H) Z4 X4 F5 Z4+F5 F4 X2 U3 X3(H) Z3 X3 F4 Z3+F4 F3 1 Сохр. 1 11 2 49 60 0 1 Сохр. 1 11 2 56 6 67 Зам. 0 2 1 52 54 - Зам. 0 2 1 60 62 - 2 Сохр. 2 10 3 46 56 56 2 Сохр. 2 10 3 54 64 64 Зам. 0 2 1 52 54 - Зам. 0 2 1 60 62 - 3 Сохр. 3 8 4 46 54 4 3 Сохр. 3 8 4 54 6 62 Зам. 0 2 1 52 54 - Зам. 0 2 1 60 62 - 4 Сохр. 4 7 5 46 53 4 Сохр. 4 7 5 54 61 - Зам. 0 2 1 52 54 54 Зам. 0 2 1 60 62 62 5 Сохр. 5 6 6 46 52 5 Сохр. 5 6 6 54 60 - Зам. 0 2 1 52 54 54 Зам. 0 2 1 60 62 62 6 Сохр. 6 6 7 46 52 6 Сохр. 6 6 7 54 60 - Зам. 0 2 1 52 54 54 Зам. 0 2 1 60 62 62 7 Сохр. 7 4 8 46 50 7 Сохр. 7 4 8 54 58 - Зам. 0 2 1 52 54 54 Зам. 0 2 1 60 62 62 8 Сохр. 8 3 9 46 49 8 Сохр. 8 3 9 54 57 - Зам. 0 2 1 52 54 54 Зам. 0 2 1 60 62 62 9 Сохр. 9 1 10 46 47 - 9 Сохр. 9 1 10 54 5 - Зам. 0 2 1 52 54 54 Зам. 0 2 1 60 62 62 10 Сохр. 10 0 - - - 10 Сохр. 10 0 - - - - Зам. 0 2 1 52 54 54 Зам. 0 2 1 60 62 62 X1 U2 X2(H) Z2 X2 F3 Z2+F3 F2 X0 U1 X1(H) Z1 X1 F2 Z1+F2 F1 1 Сохр. 1 11 2 64 75 5 0 Сохр. 0 12 1 75 7 87 Зам. 0 2 1 67 69 - Зам. 0 2 1 75 77 - 2 Сохр. 2 10 3 64 74 74 1 Сохр. 1 11 2 74 5 85 Зам. 0 2 1 67 69 - Зам. 0 2 1 75 77 - 3 Сохр. 3 8 4 62 70 0 2 Сохр. 2 10 3 70 0 80 Зам. 0 2 1 67 69 - Зам. 0 2 1 75 77 - 4 Сохр. 4 7 5 62 69 9 3 Сохр. 3 8 4 69 7 77 Зам. 0 2 1 67 69 - Зам. 0 2 1 75 77 - 5 Сохр. 5 6 6 62 68 4 Сохр. 4 7 5 69 76 - Зам. 0 2 1 67 69 69 Зам. 0 2 1 75 77 77 6 Сохр. 6 6 7 62 68 5 Сохр. 5 6 6 69 75 - Зам. 0 2 1 67 69 69 Зам. 0 2 1 75 77 77 7 Сохр. 7 4 8 62 66 - 6 Сохр. 6 6 7 69 75 Зам. 0 2 1 67 69 69 Зам. 0 2 1 75 77 77 8 Сохр. 8 3 9 62 65 7 Сохр. 7 4 8 69 73 - Зам. 0 2 1 67 69 69 Зам. 0 2 1 75 77 77 9 Сохр. 9 1 10 62 63 - 8 Сохр. 8 3 9 69 7 - Зам. 0 2 1 67 69 69 Зам. 0 2 1 75 77 77 10 Сохр. 10 0 - - - 9 Сохр. 9 1 10 69 7 - Зам. 0 2 1 67 69 69 Зам. 0 2 1 75 77 77 10 Сохр. 10 0 - - - - Зам. 0 2 1 75 77 77 Матрица максимальных прибылей: Таблица 13. Возраст Годы планового периода оборудования 1-10 2- 0 3-10 4-10 5-10 6-1 7-10 8-10 9-10 10 t, лет Мах прибыль 0 87 - - - - - - - - - 1 85 75 67 60 52 44 3 29 21 11 2 80 74 64 56 49 41 3 25 18 10 3 77 70 62 54 46 39 3 23 15 8 4 77 69 62 54 46 38 3 23 13 7 5 77 69 62 54 46 38 3 23 13 6 6 77 69 62 54 46 38 3 23 13 6 7 77 69 62 54 46 38 3 23 13 4 8 77 69 62 54 46 38 3 23 13 3 9 77 69 62 54 46 38 3 23 13 2 10 77 69 62 54 46 38 1 23 13 2 Оптимальная политика предприятия по замене оборудования при t = 9 и N = 10: Таблица 14. Зам. Сохр. Сохр. Сох . Зам. Сохр. Сохр. С хр. Сохр. Сохр. F1(9)a F2(1)a F3(2)a F4(3)a F5(4)a F6(1)a F7(2)a F8(3)a F9(4)a F10(5)a Оптимальная политика предприятия по замене оборудования при t1 = 4 и N1 = 7: Таблица 15. Зам. Сохр. Сохр. Сох . Зам. Сохр. Сохр. F1(4)a F2(1)a F3(2)a F4(3)a F5(4)a F6(1)a F7(2)a |
|
Перейти к полному тексту работы |