|
|
Задача 1. Используя метод простой итерации (Якоби) и метод Зейделя, найти решение системы:
Решение: 1. Метод простой итерации.
Вычисляя коэффициенты по формулам
приведем систему к виду, удобному для итерации. Для этого из первого уравнения систему выразим неизвестное х1, из второго – неизвестное х2, из третьего - неизвестное х3. В результате получим:
Достаточное условие сходимости выполнено:
Положим:
Получим:
Ответ:
2. Метод Зейделя
, значит метод Зейделя сходится.
Положим и будем вычислять последовательно приближения:
где:
В результате:
Ответ:
Задача 2
Аппроксимировать многочленом второй степени по методу наименьших квадратов функцию , заданную в таблице.
1 0.1 0.40
2 0.2 0.47
3 0.3 0.78
4 0.4 1.01
5 0.5 1.19
6 0.6 1.60
7 0.7 1.93
8 0.8 2.22
9 0.9 2.50
10 1 3.01
11 1.1 3.22
12 1.2 3.71
13 1.3 4.23
14 1.4 4.78
15 1.5 5.27
16 1.6 5.75
17 1.7 6.16
18 1.8 6.76
19 1.9 7.30
20 2 8.00
Решение:
Требуется аппроксимировать многочленом второй степени (m=2)
Решим систему методом Крамера:
Найдем матрицу, обратную матрице А. Для этого в ячейку М9 введем формулу =МОБР(M5:O7). После этого выделим диапазон М9:О11, начиная с ячейки, содержащей формулу. Нажмем клавишу F2, а затем нажмем клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. Формула вставится как формула массива.
Найдем произведение матриц A-1 * b. В ячейки М14:М16 введем формулу: =МУМНОЖ(M9:O11,R5:R7) как формулу массива. Получим в ячейках корни уравнения:
Получаем:
Задача 3
1)Вычислить с погрешностью интеграл
По составной формуле Симпсона находим:
2) по формуле Гаусса при n=5
Сделаем замену:
Составляем таблицу значений подынтегральной функции:
По формуле Гаусса получаем:
Задача 4. Применяя метод Эйлера, найти на отрезке [0; 1] решение дифференциального уравнения с начальным условием выбрав шаг
Решение: Введем сетку по :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Обозначим через Заменим дифференциальное уравнение разностным аналогом:
Пусть из начального условия тогда и
Теперь , и
и т.д. Все дальнейшие вычисления приведены в таблице(файл Excel. Лист: Метод Эйлера):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0 0,1 0,1995 0,2975 0 393 0,4851 0,5731 0, 562 0,7339 0,8057 0,8 15
1 0,995 0,9799 0,9552 0 9214 0,8795 0,8309 0 7768 0,7186 0,6573
Задача 5. Найти решение уравнения
удовлетворяющее условиям
1) по явной схеме, взяв
Решение: Введем сетку по :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Введем сетку по :
0 1 2 3 4 5
0 0,002 0,004 0,006 0,0 8 0,01
Здесь обозначим .
Используем явную схему:
Уравнение заменим разностным аналогом:
отсюда:
, из граничных условий
,
Вычисления приведены в таблице(файл Excel. Лист: Явная схема)::
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0 0 0 0,1267 0,2437 ,3497 0,4435 0,524 0, 906 0,6431 0,6812 0, 053 0,7156
1 0,002 0 0,1248 0,24 5 0,3473 0,4408 0,521 0,5878 0,6402 0,678 0,7025 0,7156
2 0,004 0 0,1232 0,23 3 0,3448 0,4382 0,518 0,585 0,6374 0,6756 0,7003 0,7156
3 0,006 0 0,1218 0,23 2 0,3424 0,4356 0,51 7 0,5821 0,6345 0,67 9 0,6984 0,7156
4 0,008 0 0,1205 0,23 2 0,34 0,433 0,513 0, 793 0,6317 0,6703 0, 967 0,7156
5 0,01 0 0,1193 0,2332 0,3376 0,4304 0,5102 ,5765 0,629 0,6679 0, 952 0,7156
2) по неявной схеме, взяв
Решение: Введем сетку по :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Введем сетку по :
0 1
0 0,01
Всего один слой!
3) по неявной схеме, взяв
Введем сетку по :
0 1 2 3 4 5
0 0,002 0,004 0,006 0,0 8 0,01
Неявная схема:
Уравнение заменим разностным аналогом:
отсюда (обозначая ):
Решим методом прогонки.
Прямой ход (найдем прогоночные коэффициенты): (файл Excel. Лист: Неявная схема)::
1 2 3 4 5 6 7 8 9
j=0 a= 0,1429 0,1458 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459
b= 0,6333 1,3092 1,93 7 2,5003 2,9846 3,3886 3,7098 3,9474 4,1023
Обратный ход (получение решения нового слоя):
Затем найдем решение 1-го слоя:
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
j x/t 0 0,1 0,2 0,3 ,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 9 1
0 0 0 0,1267 0,2437 ,3497 0,4435 0,524 0, 906 0,6431 0,6812 0, 053 0,7156
1 0,002 0 0,125 0,241 0,3473 0,4408 0,5212 0,5878 0,6402 0,6785 0,7029 0,7156
Далее:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
j=1 a= 0,1429 0,1458 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459
b= 0,6249 1,2972 1, 257 2,4851 2,9686 3, 721 3,6932 3,9312 4, 881
Решение 2-го слоя:
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
j x/t 0 0,1 0,2 0,3 ,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 9 1
0 0 0 0,1267 0,2437 ,3497 0,4435 0,524 0, 906 0,6431 0,6812 0, 053 0,7156
1 0,002 0 0,125 0,241 0,3473 0,4408 0,5212 0,5878 0,6402 0,6785 0,7029 0,7156
2 0,004 0 0,1235 0,23 5 0,3449 0,4382 0,518 0,585 0,6374 0,6758 0,7009 0,7156
1 2 3 4 5 6 7 8 9
j=2 a= 0,1429 0,1458 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459
b= 0,6174 1,2855 1,9 19 2,47 2,9527 3,3557 ,6767 3,9155 4,0755
Решение 3-го слоя:
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
j x/t 0 0,1 0,2 0,3 ,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 9 1
0 0 0 0,1267 0,2437 ,3497 0,4435 0,524 0, 906 0,6431 0,6812 0, 053 0,7156
1 0,002 0 0,125 0,241 0,3473 0,4408 0,5212 0,5878 0,6402 0,6785 0,7029 0,7156
2 0,004 0 0,1235 0,23 5 0,3449 0,4382 0,518 0,585 0,6374 0,6758 0,7009 0,7156
3 0,006 0 0,1221 0,237 0,3425 0,4356 0,515 0,5822 0,6347 0,6732 0,699 0,7156
1 2 3 4 5 6 7 8 9
j=3 a= 0,1429 0,1458 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459
b= 0,6106 1,2743 1, 983 2,455 2,9368 3,339 3,6605 3,9003 4,0641
Решение 4-го слоя:
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
j x/t 0 0,1 0,2 0,3 ,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 9 1
0 0 0 0,1267 0,2437 ,3497 0,4435 0,524 0, 906 0,6431 0,6812 0, 053 0,7156
1 0,002 0 0,125 0,241 0,3473 0,4408 0,5212 0,5878 0,6402 0,6785 0,7029 0,7156
2 0,004 0 0,1235 0,23 5 0,3449 0,4382 0,518 0,585 0,6374 0,6758 0,7009 0,7156
3 0,006 0 0,1221 0,237 0,3425 0,4356 0,515 0,5822 0,6347 0,6732 0,699 0,7156
4 0,008 0 0,1209 0,23 4 0,3401 0,433 0,513 ,5794 0,6319 0,6708 ,6973 0,7156
1 2 3 4 5 6 7 8 9
j=4 a= 0,1429 0,1458 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459 0,1459
b= 0,6043 1,2635 1, 849 2,4402 2,9211 3,323 3,6445 3,8856 4,0536
Решение 5-го слоя (конец решения):
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
j x/t 0 0,1 0,2 0,3 ,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 9 1
0 0 0 0,1267 0,2437 ,3497 0,4435 0,524 0, 906 0,6431 0,6812 0, 053 0,7156
1 0,002 0 0,125 0,241 0,3473 0,4408 0,5212 0,5878 0,6402 0,6785 0,7029 0,7156
2 0,004 0 0,1235 0,23 5 0,3449 0,4382 0,518 0,585 0,6374 0,6758 0,7009 0,7156
3 0,006 0 0,1221 0,237 0,3425 0,4356 0,515 0,5822 0,6347 0,6732 0,699 0,7156
4 0,008 0 0,1209 0,23 4 0,3401 0,433 0,513 ,5794 0,6319 0,6708 ,6973 0,7156
5 0,01 0 0,1197 0,2335 0,3378 0,4305 0,5103 ,5767 0,6292 0,6684 0 6958 0,7156
Сравним отличия методов, для этого в каждой ячейке вычислим разность решений по абсолютной величине:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 2E-04 4E-05 2E-05 E-05 1E-05 1E-05 2E- 5 7E-05 4E-04 0
0 3E-04 1E-04 4E-05 E-05 2E-05 3E-05 5E- 5 2E-04 5E-04 0
0 4E-04 2E-04 9E-05 E-05 4E-05 5E-05 1E- 4 3E-04 6E-04 0
0 4E-04 3E-04 1E-04 E-05 6E-05 8E-05 2E- 4 5E-04 6E-04 0
0 4E-04 3E-04 2E-04 E-04 8E-05 1E-04 3E- 4 5E-04 6E-04 0
Вывод: В данном случае методы сильно не отличаются, особенно в середине таблицы.
|
