Здесь можно найти учебные материалы, которые помогут вам в написании курсовых работ, дипломов, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.
Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение оригинальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения оригинальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, РУКОНТЕКСТ, etxt.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии так, что на внешний вид, файл с повышенной оригинальностью не отличается от исходного.
Работа № 128083
Наименование:
Курсовик Невозможность расширения понятия числа
Информация:
Тип работы: Курсовик.
Предмет: Математика.
Добавлен: 22.11.2021.
Год: 2014.
Страниц: 35.
Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%
Описание (план):
Тема: Невозможность расширения понятия числа
Содержание Введение 2 1. Методы определения чисел 5 1.1 Алгебраические структуры 5 1.2Строительный изоморфизм 13 1.3 Натуральные числа. Аксиоматика Пеано 14 2. Задача расширения понятия числа 19 2.1Аксиоматика рациональных чисел 19 2.2 Натуральные числа 20 2.3 Системы счисления 29 Заключение 33 Список использованной литературы 35
Введение Математики считают своей областью исследования некий абстрактный мир, который существует в их сознании, существует «в определенном смысле», в идеальном, духовном смысле. Все концепции этого абстрактного, идеального математического мира, изучаемые математиками, являются абстракциями, обобщениями концепций, явлений, происходящих в реальном, материальном мире. Простейшие виды чисел, такие как натуральные или действительные числа, обычно используются для обозначения количества предметов или множителя определенной единицы измерения. Все математические концепции относятся к реальному миру. Записи натуральных чисел также используются в качестве идентификаторов, например, телефонные номера, номера дорог. В математике понятие числа расширилось от натуральных, рациональных и действительных чисел, изучаемых в начальной школе, до таких абстракций, как комплексные числа , p-адические числа, кватернионы и седенионы[3]. Комплексные числа оказались полезными во многих областях, от компьютерной графики, электроники, теории жидкостей до квантовой физики и теории относительности. Кватернионы используются в трехмерной графике для простого расчета вращений в пространстве. P-адические числа нашли применение в криптографии. При аксиоматическом построении теории числа выбирают не определенные понятия, принимая их за исходные, а так же отношения между ними и называют их основными понятиями. Все остальные понятия должны быть строго определены, затем формулируется высказывание выражающие свойства этих понятий и отношений. Эти высказывания (предложения) называются аксиомами данной теории. Аксиомы принимаются без доказательства, но на их основе доказываются другие предложения данной теории, которые называются теоремами. В аксиоматической теории аксиомы не доказываются, однако, аксиомы являются отражением деятельности людей, что обуславливает их справедливость. Понятие числа – стержневое понятие курса математики. Линия развития понятия числа строится по принципу расширения множества А до множества В, при котором: 1) А должно быть подмножеством множества В; 2) операции над элементами из А те же, что и для элементов из В, но смысл тех операций, которые были только в множестве А, неизменным; 3) в множестве В должна быть выполнена операция, которая в множестве А была невыполнима или не всегда выполнима; 4) расширение В должно быть минимальным из всех расширений множества А. Рассмотрение вопросов, связанных с развитием учения о числе построим таким образом, чтобы ясна была связь понятий равенства, сумма и произведение, с одной стороны, и понятие числа, с другой. Число — одно из основных понятий математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось. В данной работе покажем, что новые числа подчиняются всем законам арифметических действий, установленных для изучаемых ранее чисел и что для арифметики необходимо исследование вопросов непротиворечивости и полноты аксиом. Цель данного исследования – рассмотреть поле вещественных чисел как расширение множества рациональных чисел, как пополнение поля рациональных чисел при помощи нормы, показать итеративную процедуру построения алгебр над полем (кольцом), позволяющую построить из действительных чисел комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т.д. Объект исследования – вопросы теоретического построения арифметики, способы построения множества вещественных чисел, а также принципиальные методологические проблемы арифметики. Предмет исследования – аксиомы Пеано, вопросы непротиворечивости арифметики Пеано и полноты ее аксиом. При выполнении данной работы были поставлены следующие задачи: Изучить литературу по данной теме; Рассмотреть аксиомы Пеано, существующие теоретико - множественные модели, а также нестандартные модели. Познакомиться задачами расширения понятия числа, различными системами счисления Гипотеза данного исследования состоит в предположении того факта, что существует противоречие между сложностью выделения основных определений арифметики и с простотой её начальных положений.
1. Методы определения чисел 1.1 Алгебраические структуры В прошлом отрицательные числа отклонялись как абсурдные, или, по крайней мере, они не могли иметь дело с такими формами, не зная, могут ли они применяться. Но когда прогресс науки указал на их важные приложения, особенно в аналитической геометрии, они были согласованы, узаконены, и благодаря им многие теоремы алгебры могли быть выражены в более общей форме, чем раньше. После этого область чисел расширилась и обогатилась, включив в нее и отрицательные числа. Сегодня работа над ними настолько уверена и решена, что полностью исчезли все сомнения. ?Подобную борьбу пришлось вести комбинированным (воображаемым) формам с умами консервативных математиков, и хотя они добились неоспоримой победы, тем не менее, время от времени раздаются голоса против равенства этих форм с «реальными»...
Заключение Арифметика выделяет в реально сущих вещах только один аспект и рассматривает их с точки зрения их количества. Числа и их свойства являются результатом такого рассмотрения. Кант считал, что явление познано тогда, когда оно сконструировано в соответствии с априорными понятиями — формальными условиями опыта. Число — одно из таких условий. Число задаёт конкретный принцип или схему конструирования. Любой объект является исчислимым и измеряемым, потому что он сконструирован по схеме числа (или величины). Поэтому всякое явление может рассматриваться математикой. Разум воспринимает природу подчинённой числовым закономерностям именно потому, что сам строит её в соответствии с числовыми закономерностями. Так объясняется возможность применения математики в изучении природы. Математические определения, разработанные в XIX веке, были серьёзно пересмотрены в начале XX века. Это было вызвано не столько математическими, сколько философскими проблемами. Определения, которые были даны Пеано, Дедекиндом или Кантором, и которые используются в математике и в настоящее время, нужно было обосновать с помощью фундаментальных принципов, коренящихся в самой природе знания. Различают три таких философско-математич ских подхода: логицизм, интуиционизм и формализм. Философскую базу логицизма разработал Рассел. Он полагал, что истинность математических аксиом неочевидна. Истинность обнаруживается сведением к наиболее простым фактам. Отражением таких фактов Рассел считал аксиомы логики, которые он положил в основу определения числа. Важнейшим понятием у него является понятие класса. Натуральное число ? есть класс всех классов, содержащих ? элементов. Дробь — это уже не класс, а отношение классов. Интуиционист Брауэр имел противоположную точку зрения: логику он считал лишь абстракцией от математики, рассматривал натуральный ряд чисел как базовую интуицию, лежащую в основании всякой мыслительной деятельности. Гильберт, главный представитель формальной школы, видел обоснование математики в построении непротиворечивой аксиоматической базы, в пределах которой можно бы было формально обосновать любое математическое понятие. В разработанной им аксиоматической теории действительных чисел представление о числе лишается всякой глубины и сводится лишь к графическому символу, подставляемому по определённым правилам в формулы теории.
Список использованной литературы Архитектура математики. Очерки по истории математики. М.: Иностранная литература, 1963. С. 68 История понятия числа и непрерывности в математическом анализе XVII–XIX вв.: моногр. / Синкевич Г. И.; СПб. гос. архит.- строит. ун-т. – СПб., 2016. – 312 c. Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. — Ташкент: ФАН, 1967. — 344 с. Меннингер К. История цифр. Числа, символы, слова. — М.: ЗАО Центрполиграф, 2011. — 543 с. Понтрягин Л. С. Обобщения чисел. — М.: Наука, 1986. — 120 с. — (Библиотека «Квант»). Кириллов А. А. Что такое число?. — М., 1993. Число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 5
* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.
