Здесь можно найти учебные материалы, которые помогут вам в написании курсовых работ, дипломов, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.
Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение оригинальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения оригинальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, РУКОНТЕКСТ, etxt.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии так, что на внешний вид, файл с повышенной оригинальностью не отличается от исходного.
Работа № 118928
Наименование:
Курсовик ОБРАБОТКА МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Информация:
Тип работы: Курсовик.
Предмет: Метрология.
Добавлен: 25.11.2019.
Год: 2019.
Страниц: 23 в pdf.
Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%
Описание (план):
лист 1 1 ОБРАБОТКА МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 1.Цель работы: освоить основные приемы статистической обработки ре-зультатов многократных измерений: •построение вариационного ряда, гистограммы частот (частостей); •нахождение среднего арифметического, медианы, моды; проверка гипотезы овиде закона распределения по виду гистограммы и проверка на промахи; •вычисление оценки СКО измерений и оценки СКО среднего арифметического; •построение доверительного интервала для неизвестного истинного значе-ния. 2.Теоретические сведения При многократных, измерениях (число измерений 4) физической величины (ФВ) постоянного размера за результат измерений обычно принимается среднее арифметическое (СА): ??=???=1?? (1) Иногда, вместо СА, используют медиану при нечетном числе измерений: ???=???+12; (2) а при четном пользуются формулой ???=???2+???2+1??2, (2.1) причем предварительно результаты измерений ???располагают в не убывающем по-рядке (такой ряд измерений называется вариационным) Х1‹Х2‹...‹Хп. Реже используется мода ??? как значение, соответствующее мак симумугистограммы. Все эти оценки определяются по выборке и выражаются одним числом, то есть точкой на числовой оси, и называются точечными выборочными оценками. Важными свойствами точечных оценок являются следующие: •Несмещенность - оценка (например??) параметра (Xист) называется несме-щенной, если ее математическое ожидание совпадает с оцениваемым пара- лист 2 метром (Хист); •состоятельность - оценка называется состоятельной, если с увеличениемобъема выборки п (числа измерений) вероятность того, что оценка схо-дится к истинному значению, возрастает и стремится к единице приобъеме выборки, стремящемся к бесконечности; •эффективность - оценка называется эффективной, если она обладает ми-нимальной дисперсией по сравнению с другими оценками. Чаще всего используется среднее арифметическое. Оно обладает весьма важными преимуществами перед другими оценками: 1)при любом законе распределения ошибок (с конечными математическиможидан ем и дисперсией) СА является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания (истинного значения). 2)дисперсия СА в п раз меньше дисперсии отдельных результатовизмерений то есть дисперсии ошибок; 3)в случае нормального распределения ошибок измерений СА является эф-фективной оценкой математического ожидания; 4)в случае нормального распределения ошибок измерений СА распределенонормальн , а при других распределениях ошибок — асимптотически нормально, то есть быстро сходится к нормальному с ростом числа измерений (увеличением объема выборки). Найденное по выборке случайных величин ?? является случайной величиной. Разность между ним и неизвестным истинным значением ?= ?? - Xиап, называемая в метрологии погрешностью, остается не известной (эта разность также случай-ная величина, ее правильнее назы вать ошибкой среднего арифметического). Если бы дисперсия ???2слу чайной величины X была известна, то дисперсия ???2 СА, вычисленного по выборке объема n, была бы тоже известна: ???2=???2 ??. В этом слу-чае можно было бы построить доверительный интервал для Хист: ???/2???ист???+???/2???, лист 3 где ??? – СКО среднего арифметического; ???/2 – квантиль (критическое значение)нормального нормированного распределения, соответствующая двухстороннему уровню значимости ? (или доверитель ной вероятности Рд = 1 - ?). При неизвестной дисперсии ???2 (и неизвестном истинном значении Xист) ее точечной несмещенной и состоятельной, а при нормальном распределении ошибок и эффективной оценкой является выборочная оценка дисперсии ???2=?(???)2???=1???1 (3) Обычно пользуются корнем квадратным из выражения (3) для вы числения оценки СКО по выборке: ???=???(???)2???=1???1, (4) хотя это выражение не вполне строго и ??? по (4) в качестве оценки СКО явля-ется смещенной. Более точное, хотя и тоже приближенное выражение для оценки СКО имеет вид ???=???(???)2???=1 ???1,5 (5) Для оценки СКО среднего арифметического ??? получаем из (4) ???=???(???)2???=1???(???1) (6) Для построения доверительного интервала для Xист воспользуемся соотноше-нием, называемым дробью Стьюдента, которое имеет t - распределение. ???ист???=??. Пользуясь таблицами t-распределения можем по строить доверительный интервал для истинного значения Хист ???/2???ист???+???/2??? (7) где ???/2,? – квантили распределения при уровне значимости ?/2, то есть довери-тельной вероятности Рд = 1-?, и числе степеней свободы (числе независимых сла-гаемых в (4) и (6)) ?=???1. лист 4 Интервал ???/2,???в метрологии называется доверительной случай ной по-грешностью. Доверительным интервалом по выражению (7) в метрологии пользуются, ко-гда ошибки измерений имеют нормальное распределение. Если установить вид распределения не удается, что бывает при малом объе-ме выборки, погрешности результата измерения можно оцепить с помощью нера-венства Чебышева: ??д???ист???‹???2?2 (8) Задаваясь значением Рд и приравнивая его к правой части (8), находим со-ответствующее значение?. Поскольку ??? обычно неизвестно, вместо него используют выборочную оценку???. При этом, однако, нельзя утверждать, что интервал ??±3.2??? накроет неиз-вестное истинное значение с вероятностью, большей или равной заданной, так как ??? является случайной величиной и может быть больше ??? (тогда вероят-ность накрытия Хиет будет больше заданной) или меньше (тогда вероятность бу-дет меньше). Среднее арифметическое весьма чувствительно к промахам (грубым ошибкам), то есть не является робастной (устойчивой) оценкой, такой результат подлежит исключению. Прежде всего таковыми могут оказаться Хmin или Хтах. При нормальном распределении случайных ошибок измерений вопрос об исключении отдельного ре-зультата решается с помощью статистических критериев. Вычисляй предвари-тельные оценки ?? и ???, можно проверить Хmin и Хmax по статистике для резковыделяющихся наблюдений: ?=??max???1 (9) или ?=???min???1 (10) Вычисленные по формуле (9 или 10) значения статистики ? следует сравнить с критическим (предельным для данной статистики) значением. Если вычисленное лист 5 значение ? превышает ?кр результат при знается промахом и должен быть от-брошен. После исключения промаха вычисления ?? и ??? производятся заново безучета отброшенного результата. Для построения гистограммы вариационный ряд разбивают на интервалы одинаковой, произвольной или специальным образом выбираемой длины. В простей-шем случае берутся интервалы одинаковой длины. Число результатов отдельных измерений в каждом интервале nk называется частотой попадания в k-й интервал, а относительная частота ???–называетсячастость , где п — общее число измерений. Если отложить по оси абсцисс гра-ницы интервалов, а по оси ординат — частоты или частости, то, можно постро-ить график в виде прямоугольников, ширина которых равна длине интервала, а высота — соответствующей частоте или частости. Такой график называется гистограммой частот или гистограммой частостей соответственно. На гисто-грамме частот сумма всех высот прямоугольников равна и, а на гистограмме ча-стостей - единице. Существует также гистограмма статистического распределе-ния. Дня ее построения по оси ординат откладывают значения ???,где ??? - длина k-го интервала. Если длины всех интервалов одинаковы (???= сопst), все три гистограммысовпадут при соответствующем выборе масштаба по оси ординат. Построив любую из гистограмм с интервалами одинаковой длины, можно по ее общему виду сде-лать предварительное заключение о возможном виде закона распределения. Это заключение будет более надежным, если на гистограмму нанести и теоретические значения час тот, частостей или дифференциальной функции распределения, со-единив их плавной кривой. При этом теоретические значения следует относить к серединам интервалов. Теоретические значения вычисляются в соответствии с предполагаемым законом распределения, в котором неизвестные параметры заме-няются, их выборочными оценками. Частость есть оценка вероятности попадания результата в k-й интервал. Теоретическая вероятность Рк может быть вычислена по формуле ???=??{???‹??‹???+1}=Ф(???+1)?Ф(???) (11) где Хк, Хк+1 — нижняя и верхняя границы к-го интервала; лист 6 ???=???; Ф(Zk) - значение интегральной функции нормированного нор-мального распределения для Z = Zk. Для вычисления оценки СКО применить формулу ???=???,???, (12) где Wn,j = Xmax,j - Xmin,j; о – номер подмассива; n – объем подмассива; dn – табули-рованный коэффициент. ХОД РАБОТЫ 3.Массив экспериментальных данных (основной протокол № 28) 6,39 6,59 6,42 6,54 6,22 6,59 6,76 6,29 6,16 6,39 6,67 6,42 6,73 6,22 6,54 6,59 6,47 6,19 6,26 6,65 6,59 6,4 6,1 6,24 6,08 6,53 6,19 6,26 6,71 6,6 6,13 6,3 4.Вариационный ряд 6,08; 6,1; 6,13; 6,16; 6,19; 6,19; 6,22; 6,22; 6,24; 6,26; 6,26; 6,29; 6,3; 6,39; 6,39; 6,4; 6,42; 6,42; 6,47; 6,53; 6,54; 6,54; 6,59; 6,59; 6,59; 6,59; 6,6; 6,65; 6,67; 6,71; 6,73; 6,76; 5.Размах варьирования и шаг гистограммы n = 32 Размах варьирования: ???=??max ???min =6,76?6,08=0,68 Шаг гистограммы: ?расч=???=6,085=0,136 где r – число интервалов (r = 5). лист 7 Таблица А Данные для построения гистограммы № инт. k Интервал Среднее значение в интервале Число зна-чений в интервале ??? Частость ??? Начало Конец 1 6,080 6,216 6,15 6 0,1875 2 6,216 6,352 6,28 7 0,21875 3 6,352 6,488 6,42 6 0,1875 4 6,488 6,624 6,56 8 0,25 5 6,624 6,760 6,69 5 0,15625 6.Гистограмма (диаграмма частостей) 7.Теоретические значения вероятности попадания результатов отдельныхизмерений в k-й интервал: ???=??{???‹??‹???+1}=Ф(???+1)?Ф(???) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 6,216 6,352 6,488 6,624 6,760 6,080 6,216 6,352 6,488 6,624 Частость интервал лист 8 Таблица B Данные для построения кривой теоретических вероятностей Номер границы инт. k Значение границы интервала ???=??? Ф(Zk) ???=Ф(???+1)?Ф(???) 1 6,080 -1,643 0,0505 2 6,216 -0,973 0,166 0,1155 3 6,352 -0,302 0,3821 0,2161 4 6,488 0,369 0,6443 0,2622 5 6,624 1,040 0,8508 0,2065 6 6,760 1,711 0,9564 0,1056 Кривая вероятности попадания результата отдельного измерения в k–й интервал Можем сделать вывод, что предположение о нормальном законе распределе-ния подтверждается. Распределение имеет нормальный вид. 8.Результаты вычислений: Среднее арифметическое: 0 0,1 0,2 0,3 0,4 6,216 6,352 6,488 6,624 6,760 6,080 6,216 6,352 6,488 6,624 Вероятность интервал лист 9 ??=???=1??= 6,413 Медиана: ???=???2+???2+1??2=(6,4 + 6,42)2 = 6,41 Мода XМо как значение, соответствующее максимуму гистограммы: ???= 0,21875 Выборочная оценка дисперсии: ???=???(???)2???=1???1= 0,203 Оценка СКО среднего арифметического: ???=???(???)2???=1??(???1)= 0,036 9.Проверка на промахи.?=??max???1=6,7 ?6,4130,203??3232? =1,74 ?=???min???1=6,413?6,080 203??3232?1=1,67 Предельное значение для данной статистики ?кр = 2,792. Вычисленное зна-чение не превышает критическое, а все значения при этом остаются в вариацион-ном ряду. Следовательно, промахов нет. 10.Доверительный интервал для Xист. Воспользуемся соотношением, называемым дробью Стьюдента, которое име-ет t - распределение. ???ист???=?? Пользуясь таблицами t-распределения можем построить доверительный ин-тервал для истинного значения Хист???/2???ист???+???/2??? лист 10 где ???/2,? - квантили распределения при уровне значимости ?/2, то есть довери-тельной вероятности Рд = 1 – ? = 0,9, и числе степеней свободы ?=???1=32?1=31. При этом коэффициент Стьюдента ??=1,7 Получаем доверительный интервал: 6,413?1,7?0,036???ист? ,413+1,7?0,0366,413?0 0612???и т?6,413+0,06126,352? ?ист?6,474 Доверительный интервал: ???[6.352, 6.474] лист 11 2 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ВИДЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Цель работы: освоить основные методы и приемы проверки гипотезы о виде закона распределения результатов отдельных измерений методом линеаризации интегральной эмпирической функции распределения с помощью критерия Колмого-рова и критерия согласия ?2 на примере нормального распределения. При обработке экспериментальных данных и определении погрешности ре-зультатов измерений, основополагающим является допущение о нормальности за-кона распределения ошибок измерений. Это допущение должно быть подтверждено. В работе 1 вывод о нормальности закона распределения делается по визуальному соответствию гистограммы частостей и теоретической кривой вероятности, то есть субъективно. Более объективными являются методы, использующие вероят-ностную бумагу и статистические критерии. Вероятностной называется бумага для построения графика интегральной функции распределения, у которой масштаб по оси абсцисс равномерен, а по оси ординат — неравномерен (кроме равномерного распределения) и соответствует проверяемому закону распределения. График интегральной функции распределения превращается на соответствующей вероятностной бумаге в прямую линию. Уста-новить прямолинейность проще, чем определить соответствие (близость) двух плавных кривых. Существуют нормальная, логарифмически нормальная и т.д. вероятностные бумаги. При отсутствии вероятностной бумаги и в случае равномерного распреде-ления пользуются обычной миллиметровой, вычисляя значения ординат в соот-ветствии с проверяемым законом распределения. Для проверки гипотезы о виде закона распределения необходимо расположить результаты измерений в неубывающем порядке, то есть построить вариационный ряд измерений: ??‹??1???2?...???‹?. Получаем (n+1) интервал: (??,??1);(??1,??2);...;(???1 ???);(???,?). лист 12 Поставив в соответствие каждому значению Хi вариационного ря да в ка-честве оценки функции распределения F(X) i/(n+1)-ю долю эмпирической функции распределения и пользуясь таблицами предполагаемого закона распределения, находят теоретические значения аргумента, соответствующие значениям, полу-ченным в опыте для оценки интегральной функции Fn(Xi). Поскольку между Zi и Xi существует линейная связь ???=??? (при неизвестных ? и ? заменяем их выборочными точечными оценками), вычислять соответствующие теоретические значения Хтеор нет необходимости, так как характер графика не изменится, если по оси ординат мы отложим значения Z1, Z2 и так далее, а соответствующие им опытные значения Х1, Х2 и так далее отложим по оси абсцисс. Расположение точек на графике вдоль прямой линии подтверждает линейную зависимость между экспериментальными значениями измерений Хi и теоретическими Zi что свиде-тельствует о возможности принятия гипотезы о виде закона распределения. Проведя на глаз прямую липши через точки, можно приближенно найти оценки Xгр, Sхгр значений Хист, ?. Значение абсциссы и точке пересечения ее с построенной прямой равно ??гр. Значение Sхгр можно найти по углу наклона пря-мой. Эти оценки, как и само установление факта прямолинейности, являются приближенными. Использование критерия Колмогорова Для определения допустимых отклонений эмпирической функции распреде-ления от теоретической существуют непараметрические (свободные от распреде-ления) критерии Колмогорова, Смирнова и другие. Более наглядное представление о критерии Колмогорова можно получить, построив график эмпирической функции распределения, на который наносится также теоретическая интегральная функция, соответствующая проверяемому за-кону распределения. При этом, как и ранее, при неизвестных ? и ? используют их выборочные точечные оценки. Найденное по графику во всем интервале значений Хi максимальное отклоне-ние эмпирической функции от теоретической Dmax сравнивается с допустимым значением Dп кр. Гипотеза отклоняется, если Dmax› Dп кр. Использование критерия согласия ??? лист 13 При объеме выборки n › 40 для проверки гипотезы о виде распреде ления применяют критерий согласия ?2 (критерий Пирсона). Он при меняется для груп-пированных данных (как при построении гистограм мы), когда в каждом интервале находится не менее 5 измерений. Если число измерений в интервале оказывается меньше 5, этот интервал объединяют с соседним. Критерий согласия ?2имеет вид: ?2=??(???)???=1???,кр2 (13) где пк — число данных в k-м интервале {k = 1, 2,..., r}; Рk — тео ретическая ве-роятность попадания случайной величины Хi в k-й ин тервал, равная при нор-мальном законе ???=???(??)???=???+1???+1??? ??? (14) где Xk - нижняя, а Хk+1 - верхняя границы интервала; - теоретическая инте-гральная функция нормированного нормального распределения; п - объем выборки; r - число интервалов; ?=???1 - число степеней свободы; j – число параметров закона распределения, определяемых по выборке. В случае нормального распределения j = 2, так как по выборке оцениваются два параметра распределения - математическое ожидание и дисперсия. В случае распределения Пуассона j = 1, так как математическое ожидание и дисперсия его равны, по выборке определяется один параметр. Вычисленное по (14) значение ??? сравнивается с табличным (критическим) при выбранном одностороннем уровне значимости ?. Если ?2???,кр2гипотеза овиде распределения принимается, в противном случае она отвергается и строится новая гипотеза — предполагается другой закон. Если вид закона подобрать не удается, то пользуются неравенством Чебышева для определения случайной по грешности ?? (построение доверительного интервала для Хист). ХОД РАБОТЫ лист 14 1.Проверка гипотезы о нормальности распределенияпо вероятностной бумаге: Для поиска ??? предполагаем, что распределение нормальное, при этомсоблюдается условие ???(???)=Ф(???). ??(???)=??(??+1). Zi находится как обратное функции Ф(???), при этом, если значение Ф(???)‹0.5, необходимо воспользо-ваться соотношением Ф(???)=1?Ф(???) Первое значение ??1(??1)=Ф(???)=132+1=0. 303 Так как Ф(??1)=0.0303‹0.5, то получаемФ(???1)=1?Ф(??1 =1?0.0303=0.9697 По таблице 1 приложений определяем соответствующее значение Z1 = -1,88. И так для остальных точек. Таблица C Данные для проверки закона распределения по вероятностной бумаге i ??? ???(???)=Ф(???) ??? 1 6,08 0.0303 -1.88 2 6,1 0.0606 -1.55 3 6,13 0.0909 -1.34 4 6,16 0.1212 -1.17 5 6,19 0.1515 -1.03 6 6,19 0.1818 -0.91 7 6,22 0.2121 -0.8 8 6,22 0.2424 -0.7 9 6,24 0.2727 -0.6 10 6,26 0.303 -0.52 11 6,26 0.333 -0.43 12 6,29 0.3636 -0.35 13 6,3 0.3939 -0.27 14 6,39 0.4242 -0.19 15 6,39 0.4545 -0.11 16 6,4 0.4848 -0.04 17 6,42 0.5152 0.04 18 6,42 0.5455 0.11 19 6,47 0.5758 0.19 20 6,53 0.6061 0.27 21 6,54 0.6364 0.35 22 6,54 0.6667 0.43 23 6,59 0.697 0.52 24 6,59 0.7273 0.6 25 6,59 0.7576 0.7 лист 15 26 6,59 0.7879 0.8 27 6,6 0.8182 0.91 28 6,65 0.8485 1.03 29 6,67 0.8788 1.17 30 6,71 0.9091 1.34 31 6,73 0.9394 1.55 32 6,76 0.9697 1.88 График ??=??(???) По графику можем определить значение среднего арифметического (точка пересечения прямой с осью абсцисс) и СКО (тангенс угла наклона): ??гр=6,4???,гр=???гр?Xгр= .78?6,41.98?0=0,19 Cравним с расчетными значениями (работа 1) ??=6,4713 и ???=0,203 Видно, что значения, найденные по графику, близки к расчетным. Следова-тельно гипотеза о нормальном законе распределения подтверждается. 2.Проверка нормальности по критерию Колмогорова Критическое значение ???,кр для доверительной вероятности ??д=0,90.???,кр=0,22 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 6,08 6,13 6,18 6,23 6,28 6,33 6,38 6,43 6,48 6,53 6,58 6,63 6,68 6,73 Z X лист 16 Таблица D Данные для проверки закона распределения по критерию Колмогорова Номер границы инт. k Значение границы интервала Ф(???) Ф(???)???,кр Ф(???)+???,кр 1 6,080 0,0505 0,2705 2 6,216 0,166 0,386 3 6,352 0,3821 0,1621 0,6021 4 6,488 0,6443 0,4243 0,8643 5 6,624 0,8508 0,6308 6 6,76 0,9564 0,7364 График эмпирической функции распределения Из графика видно, что максимальное отклонение эмпирической функции от теоретической не превышает допустимого значения, следовательно гипотеза о нормальном законе распределения принимается. 3.Проверка нормальности с помощью критерия согласия ??? 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 6,08 6,28 6,48 6,68 F(X) X лист 17 Таблица E Данные для проверки закона распределения по критерию согласия Пирсона Номер инт. k Интервал Число знач. в интервале nk Теоретич. вероятность Pk nPk (???)2??? Начало Конец 1 6,080 6,216 6 0,1155 0,693 40,6410519 2 6,216 6,352 7 0,2161 1,5127 19,9051109 3 6,352 6,488 6 0,2622 1,5732 12,4564952 4 6,488 6,624 8 0,2065 1,652 24,3929201 5 6,624 6,760 5 0,1056 0,528 37,8764848 Вычислим ??2 ?2=??(???)???=1= 135,27 Критическое значение по таблице 7 ??,кр2= 5.991 Выполняется неравенство ?2???,кр2 Следовательно закон о нормальном распределении случайной величины при-нимается. Вывод: гипотеза о нормальном законе распределения случайной величины принимается, поскольку все критерии и расчеты это подтверждают лист 18 3 ОБЪЕДИНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ Цель работы: •изучить основные особенности объединения результатов разных серий из-мерений в общий массив; •приобрести практические навыки обработки экспериментальных данных, по-лученных в нескольких сериях измерений при отсутствии систематическихошибо и нормальном законе распределения случайных ошибок измерений. Измерительную информацию о физической величине постоянного (одного и того же) размера часто получают в разное время, в разных условиях, разными методами, разные операторы. Если объединить все результаты измерений в общий массив, то можно получить более точный и надежный результат за счет увели-чения объема выборки. Однако объединение возможно только при условии одно-родности серий. В математической статистике однородными называются выборки (серии), взятые из одной генеральной совокупности, то есть имеющие одинаковый вид за-кона распределения, одинаковые математические ожидания и одинаковые диспер-сии. В метрологии серии называются однородными, если подчиняются закону рас-пределения одного вида с одинаковыми математическими ожиданиями (дисперсии могут быть различными). Если дисперсии в сериях одинаковы (не выборочные их оценки, а сами дис-персии), то в простейшем случае для двух серий измерений критерий однородно-сти (t –критерий) имеет вид: ??=???1???2???,об2(1/??1+1/? 2)???/2,?об (16) где X1 и X2 - средние арифметические в сериях; n1 и n2 - объемы серий; ta/2v - табличное значение t – статистики (табл. 3 прил.); S2X об - объединенная оценка дисперсии ?2: ???,об2=(??1?1)2???,12+(? 2?1)2???,22??об, (17) лист 19 где ???,12 и ???,22– выборочные оценки дисперсии в сериях; vоб = n1 + n2 - 2 числостепеней свободы оценки ???,об2 и табличного значения ta/2,vоб . Прежде чем воспользоваться критерием (16), необходимо убедиться, что ???,12и ???,22 есть оценки одной и той же дисперсии ?2. Только в этом случае можетбыть использована объединенная оценка дисперсии ???,об2 в виде (17). Проверка ги-потезы о равенстве дисперсий в сериях осуществляется с помощью F - критерия (критерия дисперсионного отношения). ??=???,max2???,min2???,??1,? 2, (18) где ???,max2–максимальная из двух оценок ???,12 и ???,22, V1 - число степеней свобо-ды числителя (у = n-1); ???,min2–минимальная из двух оценок, V2 – число степе-ней свободы знаменателя. Значение F?,v1,v2 берется из таблиц F – распределенияпри одно стороннем уровне значимости а и числах степеней свободы числителя V1 и знаменателя V2. Если условие (18) выполняется, гипотеза о равенстве дисперсий принимает-ся на уровне значимости а. В противном случае она отвергается. Если условия (18) и (16) выполняются, делается вывод о равноточности и однородности серий. В этом случае все экспериментальные данные объединяются и обрабатываются как единый массив. Поскольку для серий оценки Xj и SX,j обычно бывают уже вы числены, то удобнее пользоваться другими формулами. Для двух серий они имеют вид ??=???=12??=1??=?(???)2??=1? ??=??? ???1)???,??2+???(???)22??=12??=1 ?(???1)??? , (19) где ??=???2??=1- общее число данных объединенного массива. Критериями (16) и (18) можно пользоваться и тогда, когда число серий больше двух, но nj в сериях приблизительно одинаковы. Если серии с максимально различающимися Xj и SX,j не будут отвергнуты критериями, тогда и остальные серии принимаются к объединению. лист 20 Если будет обнаружена неравноточность серий (условие (18) не вы полнено), то гипотезу о равенстве математических ожиданий можно проверить по прибли-женному критерию: ??=???1???2???,12/??1+???,22/??2 ??/2,??? (20) где ???=???,12/??1+???,22/??2??2???, 2/??1???1+1+ ???,22/??2???2+1?2. (21) Статистика t в (20) подчиняется распределению Беренса–Фишера, пользова-ние которым весьма затруднительно из–за отсутствия нужных таблиц и сложно-сти процедуры пользования имеющимися. Приближенное выражение (21) позволяет пользоваться таблицами t–распределения (табл. 3 прил.). Если обнаружена неравноточность измерений в сериях, но серии однородны по условию (20), при совместной их обработке неравноточность учитывается при расчете среднего арифметического введением весов Pj, а вычисления выполняются по формулам (22) ??=??(???)???=1???=???/???,??2?(? ??/???,?? )???=1???=1???(???/???,??2)???=1? ?? (22) где L — число серий. При построении t –интервала для истинного значения в случае объединения равноточных серий берут число степеней свободы v = N-1. При объединении неравноточных серий для построения доверительного ин-тервала в метрологии обычно пользуются неравенством Чебышева. ХОД РАБОТЫ: Массивы экспериментальных данных (дополнительный протокол №3) лист 21 7,34 7,81 7,84 8,76 7,38 7,67 6,44 7,79 7,67 7,63 8,82 7,14 7,78 7,62 8,32 8,18 8,4 8,78 7,19 7,48 8,43 7,29 8,54 8,27 8,39 8,75 7,84 8,85 8,92 7,82 8,15 8,42 Оценки параметров распределения: Средние значения ??1=6,413??2=7,99 Дисперсии ???12=0,041???22=0,365 Проверим гипотезу о равенстве дисперсий в сериях с помощью F–критерия ??=???,max2???,min2=0,365 ,041=8,9 По таблице 8, для чисел степеней свободы 31: ???,??1,??2=1,84??›???,??1,??2 Следовательно равенство дисперсий отвергается, гипотеза о равноточно-сти измерений в сериях также отвергается. Вычислим общую дисперсию ???,об2=(32?1)2?0,365+ 32?1)2?0,041(32+32?2 =6,296 Проверим серии на однородность по t-критерию ??=|6,413?7,99|??6,296? 1/32+1/32)=2,5 Вычислим ???=???,12/??1+???,22/??2??2???, 2/??1??2??1+1 ???,22/??2??2??2+1=40,33 6,39 6,59 6,42 6,54 6,22 6,59 6,76 6,29 6,16 6,39 6,67 6,42 6,73 6,22 6,54 6,59 6,47 6,19 6,26 6,65 6,59 6,4 6,1 6,24 6,08 6,53 6,19 6,26 6,71 6,6 6,13 6,3 лист 22 По таблице для ???=40,33 коэффициент Стьюдента ???/2,???=1,68, поэтомувыполняется неравенство ??›???/2,??? Следовательно равенство математических ожиданий отвергается, гипотеза о однородности измерений в сериях также отвергается. Вывод: Так как серии неравноточные и неоднородны, то следовательно не-возможно объединить результаты измерений в общий массив лист 23 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1 Вентцель Е.С. “Теория вероятностей”. – М.: Физ-матгиз, 1968г. 2 Основы метрологии: Методические указания к контрольным работам/ сост. Ю.Р.Чашкин, А.В.Щекин. – Хабаровск, ТОГУ, 2008. – 36с. 3 Балашов Е.П., Долженков В.А. “Статистический контроль и регулирование качества массовой продукции“. – М.: Машиностроение, 1980г. 4 Головинский В.К. “Статистические методы регулирования и контроля качества“. – М.: Машиностроение, 1965г. 5 Гостеев В.И. “Статистический контроль качества продукции“. – М.: Ма-шиностроение , 1965г.
* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.
