Здесь можно найти учебные материалы, которые помогут вам в написании курсовых работ, дипломов, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.
Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение оригинальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения оригинальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, РУКОНТЕКСТ, etxt.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии так, что на внешний вид, файл с повышенной оригинальностью не отличается от исходного.
Работа № 121452
Наименование:
Курсовик Равновеликие и равносоставленные многоугольники и многогранники
Информация:
Тип работы: Курсовик.
Предмет: Математика.
Добавлен: 26.05.2020.
Год: 2020.
Страниц: 34.
Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%
Описание (план):
Содержание
Введение………3 1. Многоугольники………..………5 2.Многогранники………10 2.1 Лемма о целых решениях системы однородных линейных уравнений с рациональными коэффициентами………..11 2.2 Вспомогательные понятия для доказательства теоремы Дена-Кагана…13 2.3 Теорема Дена-Кагана……….………20 2.4 Теорема Дена………..………21 3. Решение задач………23 Заключение………34 Список литературы………35
Введение На международном математическом конгрессе в Париже в 1900г. выдающийся немецкий математик Давид Гильберт выступил с докладом под названием «Математические проблемы». В докладе Гильберта было представлено 23 проблемы из разных областей математики. В этой курсовой работе будет рассмотрена третья проблема, вот как изложил ее Гильберт: «Равенство объемов двух тетраэдров с равновеликими основаниями и равными высотами. Гаусс в двух своих письмах к Герлингу выражает сожаление по поводу того, что некоторые положения стереометрии зависят от метода исчерпывания, т.е., говоря современным языком, от аксиомы непрерывности (или от аксиомы Архимеда). Гаусс специально отмечает теорему Евклида, согласно которой объем треугольных пирамид, имеющих равные высоты, относятся к площади их оснований. Аналогичная задача планиметрии ныне полностью решена. Герлингу удалось также доказать равенство объемов симметричных многоугольников при помощи разбиения их на конгруэнтные части. Тем не менее, как мне кажется, в общем случае доказательства упомянутой теоремы Евклида этим способом провести не возможно и это, по-видимому, может быть подтверждено строгим доказательством невозможности. Такое доказательство можно было бы получить, если бы удалось указать такие два тетраэдра с равными основаниями и равными высотами, которые никаким способом не могут быть разложены на конгруэнтные тетраэдры и которые так же не могут быть дополнены конгруэнтными тетраэдрами до таких многогранников, для которых разложение на конгруэнтные тетраэдры возможно [3. c. 28]. Когда доказывается равновеликость прямолинейных фигур в планиметрии, пределы не только не используются, а наоборот, используются наиболее элементарные средства. Именно для этой цели применяются два приема, из которых один называется методом разложения, а другой - методом дополнения. Метод разложения заключается в том, что для доказательства равновеликости двух фигур одну из них разрезают на части, из которых в другом расположении может быть составлена вторая фигура. Метод дополнения заключается в том, что к обоим многоугольникам различным образом присоединяются конгруэнтные многоугольники так, что в результате получаются конгруэнтные фигуры. Казалось бы, что доказательство равновеликости многогранников следует вести методами разложения и дополнения. И действительно чаще всего это так, но, когда мы обращаемся к доказательству равновеликости пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты, то эти приемы не работают. Если каждый многогранник может быть путем разложения и дополнения или просто путем разложения преобразован в любой равновеликий ему многогранник, то нужно будет только указать, как это выполнить по отношению к трехгранным пирамидам, и пределы будут изгнаны из этого раздела геометрии. Если же обнаружится, что многогранники в этом отношении коренным образом отличаются от многоугольников, т.е. если будет доказано, что существуют, скажем, равновеликие пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами, которые не могут быть преобразованы одна в другую разложением и дополнением, то тогда станет ясно, что именно заставило ввести пределы. Через два года после I Международного Математического Конгресса ученик Гильберта М. Ден опубликовал в журнале “Mathematiscbe Annalen” статью, содержащую ответ на этот вопрос. Он доказал, что многогранники, которые могут быть преобразованы один в другой путем разложения или дополнения, должны удовлетворять условию, заключающемуся в следующем: если двугранные углы одного многогранника, а - двугранные углы второго многогранника, выраженные в частях прямого угла, то существуют такие целые положительные числа и и такое целое число k, что . А так как, существуют многогранники, для которых условие не выполняется, то от сюда следует, что равновеликие многогранники не всегда могут быть этим путем преобразованы друг в друга; напротив, как мы увидим ниже, возможность такого преобразования является редким исключением. Эта курсовая работа делится на две основные части: многоугольники и многогранники. В первой части будет доказана теорема Бойяи - Гервина. Во второй части будет доказана основная теорема (теореме Дена - Кагана) и теорема Дена, которая служит ответом на третью проблему Гильберта. 1. Многоугольники Равновеликие фигуры - плоские (пространственные) фигуры одинаковой площади (объёма); равносоставленные фигуры - фигуры, которые можно разрезать на одинаковое число соответственно конгруэнтных (равных) частей. Теорема Бойяи - Гервина: Два многоугольника, имеющих равные площади, равносоставленные. Для того, чтобы доказать теорему, докажем сначала несколько вспомогательных лемм. Лемма 1: Если фигура А равносоставлена с фигурой В, а фигура В равносоставлена с фигурой С, то фигуры А и С также равносоставлены. Доказательство: проведем на фигуре В линии, разбивающие ее на такие части, из которых можно составить фигуру А (сплошные линии на рис. 1, а); проведем, кроме того, линии, разбивающие фигуру В на части, из которых можно составить фигуру С (сплошные линии на рис. 1, б).
Рис. 1 Те и другие линии вместе разбивают фигуру В на более мелкие части, причем ясно, что из этих наиболее мелких частей можно составить и фигуру А, и фигуру С. Таким образом, фигуры А и С равносоставлены. Лемма 2: Всякий треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником. Доказательство: Пусть АВ - наибольшая сторона треугольника АВС (рис. 2), СD - опущенная на нее высота. Тогда точка D находится между А и В (иначе один из углов или был бы тупым, и сторона АВ не была бы наибольшей; см рис. 3). Через середину высоты CD проведем прямую параллельную АВ, и отпустим на эту прямую перпендикуляры АЕ и BF. Тогда мы получим прямоугольник AEFB, который равносоставлен с треугольником АВС. Треугольники помеченные на рис. 2 цифрой 1 (так же как и треугольники, помеченные цифрой 2), равны между собой. Каждая же из фигур АВС, AEFB состоит из заштрихованной на рис. 2 трапеции и двух треугольников 1, 2. Рис. 2 Рис. 3 Лемма 3: Два параллелограмма, имеющих общее основание и одинаковую площадь, равносоставлены. Доказательство: Пусть ABCD и ABEF - два параллелограмма, имеющих общее основание АВ и одинаковую площадь. Тогда высоты этих параллелограммов одинаковы, т.е. отрезки DC и FE расположены на одной прямой. На прямой АВ отложим последовательно ряд отрезков, равных отрезку АВ, и через каждую точку деления проведем прямые, параллельные отрезкам AD и AF. Тогда полоса между параллельными прямыми АВ и DE разобьется на ряд многоугольников (рис. 4). Каждый из этих многоугольников при сдвиге на отрезок, равный отрезку АВ, совмещается с другим равным ему многоугольником. Равные многоугольники на рис.4 отмечены одинаковыми цифрами. Остается заметить что каждый из параллелограммов ABCD, ABEF содержит одну часть, помеченную цифрой 1, одну часть, помеченную цифрой 2, цифрой 3, и т.д. Таким образом, эти параллелограммы равносоставлен Примечание: Если параллелограммы ABCD, ABEF, изображенные на рис. 4 таковы, что стороны AF и BC не пересекаются, то рис. 4 примет вид рис. 5, т.е. достаточно отрезать от параллелограмма ABCD один треугольник, чтобы из получившихся двух частей можно было составить параллелограмм ABEF.
Лемма 4: Два прямоугольника, имеющих равную площадь, равносоставлены. Доказательство: Пусть ABCD и EFGH - два прямоугольника одинаковой площади. Из четырех отрезков AB, BC, EF, FG выберем наибольший - пусть это будет, например, отрезок АВ. Продолжим отрезок HG за точку H и на этой прямой радиусом АВ, сделаем засечку из точки Е (так как , то окружность радиуса АВ с центром в точке Е будет иметь с прямой HG общую точку). Обозначая полученную точку через L, будем иметь АВ=EL и, отложив отрезок LK=EF, мы построим параллелограмм (рис.6). Этот параллелограмм равновелик прямоугольнику EFGH (и прямоугольнику ABCD). Из леммы 3 следует, что параллелограммы EFGH и EFKL, имеющие общую сторону EF, равносоставлены. Но параллелограммы также имеют общую сторону АВ =EL. Поэтому (в силу леммы 3) они равносоставлены. Так как параллелограмму EFKL равносоставлен с каждым из прямоугольников ABCD и EFGH, то (лемма 1) эти прямоугольники равносоставлены.
Лемма 5: Всякий многоугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником. Доказательство: Всякий многоугольник можно разбить на конечное число треугольников. Обозначим их цифрами 1, 2, 3,…(рис. 7). Возьмем, далее, произвольный отрезок АВ и на его концах проведем перпендикуляры АС и BD (рис. 8). Проведем отрезок , параллельный АВ, таким образом, чтобы площадь прямоугольника была равна площади треугольника 1. Тогда треугольник 1 и прямоугольник (помеченный цифрой I) равносоставлены. Треугольник 1 равносоставленый с некоторым прямоугольником (лемма 2), который в свою очередь равносоставлен с прямоугольником I, имеющим ту же площадь (лемма 4); поэтому (лемма 1) треугольник 1 и прямоугольник I равносоставлены. Построим отрезок , параллельный АВ, таким образом, что прямоугольник , помеченный цифрой II, равновелик треугольнику 2. Тогда треугольник 2 и прямоугольник II равносоставлены. Затем мы построим прямоугольник III, равносоставленный с треугольником 3, и т.д. Построенные прямоугольники I, II, III,… составляют вместе один прямоугольник (заштрихованный на рис.8), который по построению равносоставлен с исходным многоугольником.
Теорема Бояи - Гервина: Два многоугольника, имеющих равные площади, равносоставлены. Доказательство: Согласно лемме 5 каждый из многоугольников равносоставлен с некоторым прямоугольником. Полученные два прямоугольника имеют одинаковую площадь и, следовательно, равносоставлены (лемма 4). Таким образом, два исходных многоугольника равносоставлены (лемма 1). Замечание: Под «многоугольником» в теореме Бояи - Гервина не обязательно следует понимать часть плоскости, ограниченной одной замкнутой ломаной линией. Теорема эта отличается справедливостью и для более сложных фигур, ограниченных несколькими замкнутыми ломаными (рис. 9). Единственным свойством «многоугольника», которое мы использовали выше (доказательство леммы 5), является возможность разбить его на треугольники. Но этим свойством обладает и любая фигура, ограниченная несколькими замкнутыми ломаными (рис. 11).
2. Многогранники 2.1 Лемма о целых решениях системы однородных линейных уравнений с рациональными коэффициентами Пусть имеется ряд линейных однородных уравнений, связывающих n неизвестных :
(1) ……….
Если такая система имеет решения, отличные от нуля, точнее, если этим уравнениям удовлетворяют значения, которые не все равны нулю, то число независимых уравнений в этой системе меньше числа неизвестных (n); остальные же, если такие существуют, представляют собой следствия предыдущих. Если же допустить, что среди уравнений (1) имеется n независимых, то они имели бы только одну систему решений: . Если помимо нулевых решений имеются другие, которые не сводятся к нулю, то число независимых уравнений в системе (1) меньше n. Отсюда следует, что такая система уравнений имеет также бесчисленное множество систем целых решений, если только коэффициенты этих уравнений рациональны. Если среди уравнений (1) имеется h независимых уравнений, а остальные представляют собой следствия, то из независимых уравнений можно определить h неизвестных в зависимости от остальных:
(2) ………
где коэффициенты A,B,C,…,G есть рациональные числа. Теперь мы можем дать неизвестным произвольные значения, и тогда система уравнений (2) определяет значение остальных неизвестных . Если мы дадим неизвестным рациональные значения, то при рациональных коэффициентах и остальные неизвестные получат рациональные значения. Значение всех неизвестных мы можем привести к одному знаменателю, так что получим: …, …, (3) Но если однородным уравнениям удовлетворяют некоторые значения неизвестных, то мы получим другие значения, удовлетворяющие тем же уравнениям, если умножим их на одно и то же число. Если умножить значения (3) на М, то получим целые числа...
Заключение
В данной курсовой работе было проведено исследование теоретического и практического материала на тему «Равновеликие и равносоставленные многоугольники и многогранники». В первом параграфе была доказана теорема Бояи - Гервина в которой говориться что всякие равновеликие многоугольники равносоставленны. Эта теорема однозначно определяет, что равновеликость фигур в стереометрии можно доказывать только с помощью метода разложения и метода дополнения. Во втором параграфе были рассмотрены и доказаны теорема Дена - Кагана и теорема Дена. С помощью этих теорем был получен ответ на третью проблему Гильберта, и доказано, что не любые равновеликие многогранники равносоставленны. В тереме Дена было показано, какими свойствами должны обладать многогранники чтобы быть равновеликими и равносоставленными. Так же после рассмотрения второго параграфа можно сказать, что для доказательства равновеликости многогранников необходимо прибегать к использованию пределов.
Список литературы
1. Болтянский В.Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры // Популярные лекции по математики №22.- М.: Государственное издательство технико-теоретическо литературы, 1956 г. - с. 64. 2. Каган В. О преобразовании многогранников / Одесса: Изд-во Матезис , 1913, 27 с. . Прасолов В.В. Задачи по планиметрии // Учебное пособие №5. М.: МЦНМО 2006, 610 с. . Прасолов В.В. Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии // Учебное пособие №19. М.: Изд-во Наука 1989, 286 с.
* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.
