Здесь можно найти учебные материалы, которые помогут вам в написании курсовых работ, дипломов, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.
Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение оригинальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения оригинальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, РУКОНТЕКСТ, etxt.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии так, что на внешний вид, файл с повышенной оригинальностью не отличается от исходного.
Работа № 109901
Наименование:
Контрольная Современные методы расчета механики сплошных сред
Информация:
Тип работы: Контрольная.
Предмет: Машиностроение.
Добавлен: 21.11.2017.
Год: 2017.
Страниц: 29.
Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%
Описание (план):
Содержание Типы уравнений в частных производных второго порядка 3 Проблема нелинейности 4 Уравнения Рейнольдса. Турбулентные напряжения 6 Метод Ритца и линейные элементы 8 Метод Галёркина, коллокация и смешанный метод 11 Нарушения законов Рэлея — Ритца 18 Численное интегрирование 20 Ошибки в собственных значениях и собственных функциях 22 Гиперболические уравнения 27 Список используемой литературы 29
Типы уравнений в частных производных второго порядка В математической физике при рассмотрении задач, связанных с решением уравнений в частных производных второго порядка, всегда концентрируются на анализе некоторых основных уравнений: Пуассона, теплопроводности, волнового уравнения. Связано это с возможностью приведения уравнений второго порядка к т.н. каноническому виду, а именно к тем самым перечисленным только что уравнениям. Рассмотрим уравнение второго порядка общего вида: , где . При этом будем считать без ограничения общности, что матрица коэффициентов симметрическая, т.е. (это фактически требование независимости смешанных производных от порядка дифференцирования). Далее будем называть эту матрицу матрицей старших коэффициентов. Строго говоря, одно и то же уравнение в различных точках может относиться к разным типам классификации. В связи с этим замечанием будем говорить о матрице старших коэффициентов в определённой точке. Считаем, что матрица старших коэффициентов представляет собой матрицу некоторой квадратичной формы. Эту форму можно привести к нормальному виду, т.е. диагональному виду с коэффициентами, равными по модулю нулю или единице. Напомним, что число положительных коэффициентов называется положительным индексом инерции квадратичной формы, число отрицательных коэффициентов – отрицательным индексом формы, а число нулевых коэффициентов – дефектом формы. Уравнения можно классифицировать при помощи этих трёх чисел, которые и будем указывать в порядке их перечисления: . Сумма этих трёх чисел равна количеству независимых переменных. При этом ясно, что умножение всего уравнения на минус единицу приведёт к тому, что все элементы матрицы старших коэффициентов поменяют знак. Следовательно, положительный и отрицательный индексы соответствующей формы поменяются ролями. Таким образом, уравнения и принадлежат к одному типу классификации. Перечислим основные классы уравнений: - гиперболическое - параболическое - эллиптическое - ультрагиперболическо - эллиптико-параболичес ое Последние два типа уравнений в стандартных курсах не обсуждаются. Словесно эту классификацию можно сформулировать следующим образом. Уравнение гиперболическое, если дефект соответствующей квадратичной формы равен нулю, а один из индексов равен единице. Уравнение параболическое, если его форма имеет равный единице дефект и все коэффициенты одного знака. Уравнение эллиптическое, если дефект его формы равен нулю и все коэффициенты имеют одинаковый знак. Проблема нелинейности Все технические системы, как правило, нелинейны. Однако первый этап изучения реальных систем состоит в исследовании их линейных математических моделей, которые являются наиболее простыми из возможных. Теория линейных систем, базирующаяся на линеаризованных уравнениях движения, является достаточно хорошо разработанной Отраслью науки. Применение этой теории к анализу и синтезу систем носит двоякий характер. Во-первых, имеется возможность совершенно строго анализировать методами линейной теории устойчивость «в малом» (при малых колебаниях) широкого класса реальных систем благодаря теоремам Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Во-вторых, часто допускают, что отклонения характеристик системы от линейных малы и на основе этого применяют методы линейной теории для исследования поведения систем не только «в малом», но и «в большом». Полученные при таком допущении результаты могут быть подтверждены или опровергнуты практикой в зависимости от того, насколько значительно влияние отброшенных нелинейностей. Для детального и всестороннего изучения реальных систем линейные математические модели часто являются слишком упрощенными и грубыми, требуется рассмотрение нелинейных моделей. Теория нелинейных автоматических систем, базирующаяся на нелинейных уравнениях движения, представляет собой значительно более широкую отрасль науки, нежели теория линейных систем. Вместе с тем, вследствие трудности исследования нелинейных моделей, теория нелинейных систем разработана не столь полно, хотя и здесь Достигнуты фундаментальные результаты. Одна из проблем нелинейной теории состоит в анализе динамического поведения нелинейных систем. Иными словами, первая задача Нелинейной теории — учесть наличие в уравнениях движения тех нелинейностей, которые присущи определенным звеньям реальной системы в силу их природы; выяснить, как эти нелинейности влияют на работу системы; найти пути компенсации вредного влияния и способы использования положительного влияния этих нелинейностей. Другая проблема нелинейной теории состоит в синтезе таких нелинейных систем, которые наилучшим образом отвечали бы предъявляемым к ним требованиям. Иначе говоря, вторая задача теории нелинейных автоматических систем — выяснить, какие нелинейности должны быть специально введены в реальную систему, для того чтобы эта система была оптимальной с определенной точки зрения. Вторая из указанных задач исторически возникла более поздно нежели первая. Она непосредственно связана с построением адаптивных и оптимальных систем, с синтезом нелинейных законов управления и др. При построении нелинейных моделей автоматических систем обычно выделяют несколько, например, одно или два, звеньев системы с нелинейными уравнениями, считая при этом уравнения остальных звеньев линейными. Таким образом учитываются наиболее «сильно выраженные» нелинейности. Если движение остальных звеньев системы действительно достаточно точно описывается решениями лилейных уравнений, то при таком способе исследования можно получить результаты, хорошо согласующиеся с опытными данными. Во всяком случае, такая нелинейная модель более полно отражает свойства реальной системы, нежели линейная модель, и поэтому позволяет получить существенную дополнительную информацию о поведении системы. Уравнения Рейнольдса. Турбулентные напряжения О. Рейнольдс предположил, что хаотическое турбулентное движение жидкости принадлежит к классу нестационарных течений, описываемых уравнениями Навье — Стокса. Подставим в систему уравнений Навье — Стокса, записанную в форме:
параметры потока, выраженные через их осредненные и пульсационные составляющие, и произведем осреднение по времени с учетом правил осреднения. В результате для описания осредненного турбулентного течения получим следующую систему уравнений Рейнольдса:
По сравнению с системой уравнений 1 в системе уравнений 2 для осредненного турбулентного течения появились новые члены, которые можно рассматривать как компоненты тернзора дополнительных напряжений, связанных с пульсациями потока. Если в системе уравнений 2 произвести упрощения таким же способом, как это было сделано при выводе уравнений двумерного ламинарного пограничного слоя, то получим систему уравнений для турбулентного пограничного слоя
Система уравнений 3 является незамкнутой, так как в нее входит выражение для напряжения турбулентного трения
для описания, связи которого с параметрами осредненного течения требуется дополнительная информация... Для нахождения однозначного решения уравнение доопределяется начальными и краевыми условиями, поскольку уравнение имеет второй порядок по времени, то начальных условия два: для самой функции и для её производной. Для аналитического решения уравнений в бесконечной области используют формулу Кирхгофа, которая в одномерном случае представляется в виде формулы Д’Аламбера, а в двухмерном в виде формулы Пуассона - Парсеваля. Для аналитического решения в конечной области можно использовать метод разделения переменных Фурье и его модификации для решения неоднородных уравнений. Для численного решения используют метод конечных элементов, метод конечных разностей, их комбинацию (по времени решают конечными разностями, по пространству — конечными элементами), а так же другие численные методы, подходящие под задачу. Волновое уравнение - уравнение, описывающее колебания струн, мембран и так далее. Различные уравнения, получаемые из уравнений Максвелла, описывающие электромагнитное поле. Это может быть постановка относительно одного из векторов A, E, B, D, H, считая не нулевой только одну из компонент вектора (то есть когда уравнение становится скалярным). Сеть Чебышёва — решение линейного гиперболического уравнения первой степени.
Список используемой литературы 1. Вайнберг М. М., Вариационные методы исследования нелинейных операторов, Гостехиздат, М., 1956. 2. Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике, изд-во «Мир», М., 1975. 3. Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, изд-во «Наука», М., 1970. 4. Михлии С. Г., Проблема минимума квадратичного функционала, Гостехиздат, М. — Л., 1952. 5. Михлин С. Г., Численная реализация вариационных методов, изд-во «Наука», М., 1966. 6. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, Физматгиз, М., 1960.
* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.
