Здесь можно найти учебные материалы, которые помогут вам в написании курсовых работ, дипломов, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.
Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение оригинальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения оригинальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, РУКОНТЕКСТ, etxt.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии так, что на внешний вид, файл с повышенной оригинальностью не отличается от исходного.
Работа № 119500
Наименование:
Курсовик Треульник Паскаля, его свойства и комбинаторные приложения
Информация:
Тип работы: Курсовик.
Предмет: Математика.
Добавлен: 20.01.2020.
Год: 2018.
Страниц: 16.
Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%
Описание (план):
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3 ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 5 1.1. Некоторые исторические сведения о треугольнике Паскаля 5 1.2. Треугольник Паскаля и его свойства 7 1.4. Биномиальные коефициенты 5 ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 10 2.1. Некоторые олимпиадные задачи 10 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 16 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ЛИТЕРАТУРЫ 19
ВВЕДЕНИЕ Актуальность темы курсового проекта обусловлена тем, что в современной системе образования популярно изучать новые интересные элементы, что привлекает учащихся и вызывает интерес к обучению. Разнообразие задач, в которое углубляются учащиеся, «раскачивая» мозг при решении, вызывает заинтересованность. С удовольствием решаются задания, содержащие такие элементы, которые имеют свою историю и уникальность. С целью повышения уровня заинтересованности и развития кругозора учащихся, преподаватели формируют задания на разнообразные темы. Рассмотреть те же олимпиады, которые отличаются своей структурной оригинальностью. Одна из интереснейших тем, которая считается очень изящной в математике, является треугольник Паскаля. Целью написания данной курсовой работы является ознакомление с треугольником Паскаля, его свойствами, комбинаторными приложениями, а также применение треугольника в различных отраслях математики. Задачи исследования: - изучение литературы по теме «Треугольник Паскаля», а именно история; - ознакомление с построением треугольника Паскаля; - выявить свойства, которые имеет треугольник Паскаля; - изучение комбинаторных приложений, а именно: биномиальные коэффициенты, сочетания и количество подмножеств данного множества, фигурные числа пифагорейцев, связь с числами Фибоначчи, связь с факториалами; - ознакомиться с олимпиадными задачами на данную тему, а также посмотреть, где ещё применяется треугольник Паскаля; - сформулировать вывод и итоги исследования. Объект исследования: математика Предмет исследования: треугольник Паскаля Методы исследования: - анализ научно-популярной литературы и интернет ресурсов по теме; - систематизация информации; Направления исследования: - выбор проблемы, источников литературы, составление плана; - работа с литературой и другими источниками; - обработка полученных данных; - анализ результатов, формулирование вывода; Основные этапы исследования: подготовительный, деятельностный. Для написания представленного курсового исследования были использованы публикации учебного и научного характера — книги и статьи соответствующего содержания и жанра, материалы научно-популярных книг, учебники и учебные пособия. Курсовая работа состоит из таких структурных частей как: введение, основная часть (теоретическая и практическая), заключение, список использованных источников литературы, приложение. Курсовое исследование представлено на 26 страницах машинописного текста.
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Некоторые исторические сведения о треугольнике Паскаля
Определение: треугольник Паскаля — это бесконечная таблица биномиальных коэффициентов треугольной формы, в которой на вершине и по бокам расположены единицы. Каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, расположенных над ним слева и справа. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Треугольник назван в честь французского математика, механика, физика, литератора и философа Блеза Паскаля. Числа, содержащиеся в треугольнике Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел. К трудам математика Пингалы есть комментарий индейского математика Х века Хайямом, в котором впервые упоминается треугольная последовательность биномиальных коэффициентов, которые назывались meru-prastaara. В Иране же эту схему называют треугольником Хайяма в связи с исследованием треугольника Омаром Хайямом около 1100 года. Далее в 1303 году выпустили книгу «Яшмовое зеркало четырёх элементов» автором которой являлся китайский математик Чжу Шицзе. В этой книге был изображён треугольник Паскаля. Но считается, что его изобретателем был другой китайский математик Ян Хуэй. Поэтому китайцы дали ему название «треугольник Яна Хуэя». И опять же в 1529 году , на написанном Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, в учебнике арифметики на титульном листе изображён также треугольник. Итак, треугольник Паскаля имел популярность раньше даты выхода "Трактата об арифметическом треугольнике" (1653 год). "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике" – пишет Мартин Гарднер в книге "Математические новеллы" (М., Мир, 1974). И только в 1653 году (в других источниках в 1655 году) выпустилась книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике». Блез Паскаль (19 июня 1623 -19 августа 1662) - физик, математик, философ, писатель. Невероятный человек с поразительными интеллектуальными способностями, которые начали проявляться с раннего детства. Его открытия в физике и математике положили основы современной гидравлики и вычислительной техники, а его сочинения оказали сильное воздействие на формирование литературного французского языка. Имя Паскаля носят единица измерения давления (1 Па), язык программирования "Паскаль" и университет в его родном городе (Клермон-Ферран). Блез Паскаль был первоклассным математиком. Он помог создать два крупных новых направления математических исследований. В возрасте шестнадцати лет написал замечательный трактат о предмете проективной геометрии и в 1654 году переписывался с Пьером де Ферма по теории вероятностей, что впоследствии оказало принципиальное влияние на развитие современной экономики. Немного о теории вероятности: У Паскаля были трудности в передвижении, начиная с 1650 года. Причиной было поражение частичным параличом. Врачи считали, что его болезнь связана с нервами и необходимо было найти способ отвлечься. Блез Паскаль начал посещать игровые дома. Одно из заведений называлось «Папе-Рояль». В этом казино Паскаль встретил шевалье де Мере, у которого были необычные математические способности. Он рассказал Паскалю, что при бросании кости в подряд 4 раза, выпадение 6 составляет более 50%. Мере делал небольшие ставки в игре и выигрывал, используя эту свою систему. Но такая система работала, только при бросании одной кости. Когда же он переходил на другой стол, где производился бросок пары костей, Мере проигрывал. Этот подход натолкнул Паскаля на мысль, в которой ему захотелось рассчитать вероятность с математической точностью. Паскаль задумал решить задачу с помощью математического треугольника, который был известен даже в древности, который потом получил название – треугольник Паскаля. Эта пирамида, состоящая из чисел, каждое из которых равно суме пары чисел расположенных над ним. Такой треугольник позволяет точно рассчитать вероятность выпадения в игре «орел-решка». Если мы подбрасываем монетку один раз, то результат вероятности мы видим во второй горизонтальной строке – одно выпадение «Решка» и одно «Орел» (50/50). Также можно рассматривать варианты 2, 3, 4 бросков и т.д. Данное изобретение было революционным. Оказывается удачу можно предсказать. По теории Паскаля неудачи можно не опасаться, если теория ее вероятности существенно мала. Такую вероятность можно легко рассчитать по статистическим данным. Открытие Паскаля используют экономисты различных стран мира. Его теорию применяют в страховых компаниях и торговых биржах.
Треугольник Паскаля Возьмём строку чисел d0, d1,…,dn при n=0,1,2… При n=0 эта строчка «вырождается» в строчку, состоящую только из числа d0. Сделаем из неё новую строчку чисел s0, s1,…,sn,sn+1 по правилам: s0 = d0 sk = dk-1 + dk (1 ? k ? n) sn+1 = dn Будет говорить, что новая строчка образована по закону Паскаля. Пример: 2 1 1. По закону Паскаля получается строчка 2 3 2 1, а из неё 2 5 5 3 1. Заметим, что если строчка ? получена из строчки ? по закону Паскаля, то сумма новой строки будет в 2 раза больше суммы предыдущей. Действительно, если выполняются (1)-(3), то s0+s1+…+sn+sn+1 = d0+(d0+d1)+…+(dn-1+d )+dn= = 2(d0+d1+…+dn) Строчка d0, d1,…,dn называется симметричной, если при всяком k (от 0 до n) выполняется равенство dk = dn-k (5) А строчка чисел s0, s1,…,sn,sn+1, получающаяся по закону Паскаля из симметричной строчки d0, d1,…,dn , сама является симметричной. Для этого надо проверить равенство sk = s(n+1)-k (6) при k = 0, 1, … , n+1. При k=0 и k=n+1 равенство (6) вытекает из (1), (3) и d0=dn (получающегося из (5) при k=0). Если же 1 ? k ? n, то: sk = dk-1 + dk = dn-(k-1) + dn-k = d(n+1)-k + d|(n+1)-k|-1 = d|(n+1)-k|-1 + d(n+1)-k = s(n+1)-k (7). Теперь рассмотрим строку, которая состоит из одного числа (единица). Называется она нулевой строкой Паскаля. И неё образуется по закону Паскаля новая строка, называемая первой строкой Паскаля. Из первой строки образуется вторая строка Паскаля и т.д. Так как при переходе к каждой последующей строке число членов этой строки увеличивается на единицу, то в n-ой строке Паскаля будет n+1 число. Без всяких вычислений, а только приминая во внимания значения 1 и 2, утверждаем, что Сумма n-ой строки Паскаля равна 2n. Так как при переходе от строки к следующей, сумма членов удваивается, а для нулевой строки, состоящей только из единицы, сумма будет равна 20=1. Все строки Паскаля симметричны. Так как при переходе от каждой строки к следующей, свойство симметрии сохраняется, а нулевая строка симметрична. Теперь запишем строки Паскаля. Начинаем с нулевой. Располагаем строки друг под другом так, чтобы каждое число каждой строки располагалось между теми числами предыдущей строки, суммой которых оно является. Получается бесконечная таблица, которая носит название арифметический треугольник Паскаля (или арифметический треугольник, или треугольник Паскаля). Таблица вся в целом как бы заполняет внутренность некоторого угла. Любое начало таблицы 0-ой, 1-ой,…, n-ой строками имеет форму равнобедренного треугольника. Выпишем начало треугольника Паскаля, образованное первыми его 7 строками от нулевой до шестой. Вследствие симметрии строй Паскаля, треугольник Паскаля симметричен относительно своей биссектрисы. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
Каждый член в каждой строке Паскаля нумеруется слева направо, отсчёт начинается с нулевого. Например: второе место в пятой строке достаётся числу 10. Число, стоящее на k-м месте в n-й строке, будем обозначать через T¦(k@n) так что например, T¦(0@0) =1, T¦(2@5)=10, T¦(4@14)=1001. Выражение T¦(k@n)определено, очевидно, при любом n?0 и k=0,1,…,n. В этих обозначениях подмеченные выше два свойства строк Паскаля могут быть записаны так: T¦(0@n)+T¦(1@n)+?+T¦ n@n)=2n (8) T¦(k@n)=T¦(n-k@n) (9) Впоследствии мы обнаружим ещё пару строк Паскаля: T¦(0@n)-T¦(1@n)+T¦(2 n)-…+(-1)n T¦(n@n)=0 (10) (T¦(0@n))2+(T¦(1@n))2+ +(T¦(n@n))2=T¦(k@2n) (11) В силу своего определения числа T¦(k@n) подчинены следующим соотношениям: T¦(0@0)=1 (12) T¦(0@n+1)= T¦(n+1@n+1)=1 для n=0,1,2,… (13) T¦(k@n+1)= T¦(k-1@n)+ T¦(k@n) для n=0,1,2,… K=1,2,…,n (14) Этими соотношениями числа T¦(k@n) полностью задаются; пользуясь равенствами (12) - (14), можно построить сколько угодно строк треугольника Паскаля. Выражение T¦(k@n) можно естественным образом доопределить так, чтобы оно было осмесленно при любом целом неотрицателном n и любом целом k. Для этого положим T¦(k@n)=0, если n?0, а k таково, что для него не выполнено хотя бы одно из двух неравенств: 0?k и k?n. Таким образом, T¦(k@n)=0 для всех пар (n,k), у которых n?0, k‹0, и всех пар (n,k), у которых n?0, k›0. Теперь соотношение T¦(k@n)= T¦(k-1@n)+ T¦(k@n) будет выполняться для всех k (а не только для k от 1 до n, как в (14)), и числа T¦(k@n) будут полностью задаваться следующими равенствами: (15) T¦(0@0)=1 (16) T¦(k@0)=0 при k?0 (17) T¦(k@n+1)=T¦(k-1@n)+T (k@n) при всех n?0 и всех k. Вышесказанное даёт построить наглядную картину возникновения треугольника Паскаля. Рассмотрим бесконечную таблицу, состоящую из нулей, которые в свою чередь расположены в шахматном порядке: …0 0 0 0… …0 0 0 0 0… …0 0 0 0… …0 0 0 0 0… ……….. Естественно, для этой таблицы будет осуществляться закон Паскаля, который заключается в том, что каждое число является суммой двух ближайших стоящих сверху него чисел (Будем считать, что бесконечная строка получаена из бесконечной строки по закону Паскаля, коль скоро sk=dk-1+dk при каждом k. Тогда определение закона Паскаля для конечных сирок получается отсюда, если каждую конечную строку х0, х1,…,хn отождествить с бесконечной строкой …,0,0,х0,х1,…,хn, 0,0,0,…) Теперь заменим один из нулей на единицу. Если надо, чтобы сохранялся закон Паскаля, то «возмущение» будет распределяться в виде угла – треугольника Паскаля. …0 0 1 0 0… …0 0 1 1 0 0… …0 1 2 1 0… …0 1 3 3 1 0… ……….. Треугольник Паскаля при расположении его членов, рассмотренном выше, естественно называть треугольником Паскаля в равнобедренной форме, или, короче, равнобедренным треугольником Паскаля. Иногда располагают члены треугольника несколько иначе, чтобы каждое начало имело форму прямоугольного треугольника. Такую бесконечную таблицу естественно называть треугольником Паскаля в прямоугольной форме, или просто прямоугольным треугольником Паскаля. В прямоугольном треугольнике Паскаля на пересечении n-ой горизонтали и k-ой вертикали (при том, что счет идет с нулевой горизонтали и нулевой вертикали) стоит число T¦(k@n)
На n-ой горизонтали здесь располагается n-ая строка Паскаля. Помимо вертикалей и горизонталей, в прямоугольном треугольнике Паскаля легко прослеживаются диагонали. Различают восходящие диагонали (они выделены в приведенной только что таблице) и нисходящие диагонали. По главной нисходящей диагонали стоят единицы, по каждой из параллельных ей нисходящих диагоналей располагается, в силу симметрии строк Паскаля, та же последовательность чисел, что и по соответствующей вертикали, поэтому рассмотрение бесконечных рядов чисел, расположенных на нисходящих диагоналях, не дает ничего нового. Восходящие диагонали нумеруются, начиная с первой. На каждой из них стоит конечный ряд чисел: на первой диагонали 1; на второй 1; на третьей 1, 1; на четвертой 1, 2; на пятой 1, 3, 1 и т. д. Вообще, на n-ой диагонали стоят числа T¦(0@n-1), T¦(1@n-2),…, T¦(k@n-1-k) (они продолжаются до тех пор, пока k? (n-1)/2). Заметим, что из двух чисел пятой горизонтали – 10 и 5 – по закону Паскаля получается число 15 шестой горизонтали. Эти числа 10, 5, 15 расположены соответственно на девятой, десятой и одиннадцатой восходящих диагоналях. Можно заметить, что, вообще, любое число (n+2)-ой диагонали, кроме самых крайних единиц, является суммой двух чисел, находящихся на двух предшествующих диагоналях, n-ой и (n+1)-ой; оговорка относительно крайних единиц станет излишней, если продолжить n-ую и (n+1)-ую диагонали некоторым количеством нулей. При этом для различных чисел (n+2)-ой диагонали образующие их пары чисел двух предыдущих диагоналей не имеют между собой общих членов, и все такие пары путем суммирования их членов участвуют в образовании чисел (n+2)-ой диагонали. Поэтому сумму чисел (n+2)-ой диагонали равна сумме чисел n-ой диагонали, сложенной с суммой чисел (n+1)-ой диагонали. Свойства Второе число каждой строки соответствует её номеру. Третье число каждой строки приравнивается к сумме номеров строк, ей предшествующих. Третье число каждой строки является треугольным. Четвертое число каждой строки является тетраэдрическим. Сумма чисел n-ой восходящей диагонали, проведенной через строку треугольника с номером n ?1, есть n-ое число Фибоначчи: ¦( n-1@0)+¦(n-2@1)+¦(n- @2)+…= Fn Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана. Сумма чисел n-ой строки треугольника Паскаля равна 2n. Простые делители чисел треугольника Паскаля образуют симметричные самоподобные структуры. Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные - в белый, то образуется треугольник Серпинского .
Биномиальные коэффициенты есть коэффициенты разложения многочлена по степеням x и y. (a+b)0= 1 1 (a+b)1= a+b 1 1 (a+b)2= a2+2ab+b2 1 2 1 (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3 1 3 3 1 (a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 4 6 4 1 (a+b)5= … 1 5 10 10 5 1 (a+b)6= … ...…….…..………
Заметим, что каждая строчка имеет определенную структуру: по краям стоят единицы количество элементов в каждой строчке равно номеру строчки каждый элемент строчки, кроме стоящих по краям равен сумме двух строящих над ним Продолжим треугольник: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ……… Этот треугольник представляет собой коэффициенты в разложении (a+b)n. Номер строчки в этом треугольнике соответствует n+1. Теперь разберемся со степенями одночленов в разложении. Посмотрим внимательно на формулы, которые я выписала в начале статьи:
Заметим, что степени всех одночленов, входящих в состав разложения равны n, причем степень первого слагаемого уменьшается с n до 0, а степень второго слагаемого увеличивается с 0 до n. Исходя из этого, мы можем написать разложение, например, . Коэффициенты разложения совпадают с числами, стоящими в пятой строчке треугольника Паскаля. Получим:
Пользуясь треугольником Паскаля, мы можем возвести двучлен в любую степень, не заучивая сложные формулы.
Заключение
Работа по выбранной теме осуществлялась в полном соответствии с планом исследования, а именно: объект и предмет исследования, поставлены цели и задачи, а также определены ожидаемые результаты. Были указаны используемые методы исследования, определена проблема. В данной работе была дана общая характеристика треугольника как геометрической фигуры, был детально рассмотрен треугольник Паскаля, его свойства. Я пришла к выводу, что одной из наиболее известных и изящных численных схем во всей математике является треугольник Паскаля. Треугольник Паскаля - понятие значительно шире, чем мне представлялось. Он обладает не только удивительными свойствами, но и применялся в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности и для построения прямых углов землемерами и архитекторами. Используя треугольник Паскаля, можно решить задачи из теории вероятности и комбинаторики. С комбинаторными задачами я встречалась на уроках математики в 6 классе и при решении олимпиадных задач Практическая значимость данной работы заключается в следующем: я, изучив много литературы по данному вопросу, получила дополнительные знания в области математики, укрепила свой интерес к этой науке. Я узнала, что треугольник Паскаля применяется: В курсе алгебры При решении комбинаторных задач Для решения различных задач в области физики С появлением вычислительных машин построение треугольника Паскаля стало излюбленной задачкой для начинающих при изучении основ программирования. Работа по данной теме оказалась интересной и полезной.
Список использованных источников и литературы 1. Абачиев С. К., Радужная фрактальность треугольника Паскаля / С. К. Абачиев, -- Минск, 1999.—168с. 2. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера. Книга для учащихся 5-11кл.Москва, «Просвещение», 1996г. – 194 с. 3. Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля / Математические новеллы. — Минск: Мир, 1974.— 456 с. 4. Треугольник Паскаля. В. А. Успенский. - 2 - е изд. – Москва: Наука, 1979. – 48с. 5. Фукс Д., Фукс М., Арифметика биномиальных коэффициентов / Квант. — 1970. — № 6. — С.17-25. 6. Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова; метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.
!!!--- Внимание работа не полная, тут показан весь текст ---!!!
* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.
