Здесь можно найти учебные материалы, которые помогут вам в написании курсовых работ, дипломов, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.
Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение оригинальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения оригинальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, РУКОНТЕКСТ, etxt.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии так, что на внешний вид, файл с повышенной оригинальностью не отличается от исходного.
Работа № 129619
Наименование:
Контрольная числовые ряды и дифференциальные уравнения Вариант 2
Информация:
Тип работы: Контрольная.
Предмет: Математика.
Добавлен: 25.05.2022.
Год: 2020.
Страниц: 13.
Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%
Описание (план):
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова»
Кафедра математики (наименование кафедры) (фамилия, имя, отчество студента) Институт курс группа зачётная книжка
(код и наименование направления подготовки/специальн сти)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По дисциплине математика
На тему числовые ряды и дифференциальные уравнения (наименование темы)
Задание 1. Исследуйте на сходимость числовые ряды. а) ; Используем признак сходимости Даламбера: limT(n>?)??a_(n+1)/a_n ?=limT(n>?)??((n+1+3)/3^(n+1) )/((n+3)/3^n )?=limT(n>?)??(3^n (n+4))/(3•3^n (n+3))?=1/3 limT(n>?)?(1+1/(n+3))=1/3. 1/3<1,значит ряд сходится. б) ; Используем признак сходимости Коши: limT(n>?)?v(n&a_n )=limT(n>?)?v(n&((3n+1)/(n-1))^ n-1) )=limT(n>?)??((3n+1)/(n-1))^((n-1 /n) ?=limT(n>?)??((3(n-1)+4)/(n-1))^ 1-1/n) ?= =limT(n>?)??(3+4/(n-1))^(1-1/n ?=3, 3>1,значит ряд расходится. в) ; При n = 1 и n = 2 аргумент арксинуса выходит за пределы отрезка [?1;1], что говорит о некорректности выражения общего члена ряда. г) ; Используем предельный признак сравнения и сравним со сходящимся рядом ?_(n=1)^?-1/n^5 . limT(n>?)??a_n/b_n ?=limT(n>?)??(1/n^5 )/(n/v(n^7+4n^2+5))?= imT(n>?)??(1/n^5 )/(n^2/(n^7+4n^2+5))? limT(n>?)??(n^7+4n^2+5)/n^7 ?= =limT(n>?)?(1+4/n^5 +5/n^7 )=1. Получено конечное и отличное от нуля число, следовательно, исследуемый ряд сходится вместе с рядом ?_(n=1)^?-1/n^5 .
Задание 2. Исследуйте ряды на абсолютную и условную сходимость.
а) ; Ряд является знакочередующимся. limT(n>?)?|a_n |=limT(n>?)??1/n^3 ?=0 Члены ряда по модулю убывают, следовательно, ряд является условно сходящимся по признаку Лейбница. Проверим ряд на абсолютную сходимость: ?_(n=1)^?-|a_n | =?_(n=1)^?-1/n^3 . Получился гармонический сходящийся ряд, значит, исследуемый ряд сходится абсолютно. б) ; ?_(n=1)^?-??(-1)?^(n+1 (n+1)/n?=2/1-3/2+4/3- Ряд является знакочередующимся. limT(n>?)?|a_n |=limT(n>?)??(n+1)/n?=limT(n>?)?(1+1/n)=1?0, следовательно, исследуемый ряд условно и абсолютно расходится.
Задание 3. Вычислить интеграл с точностью .
Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом. Для этого нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Используем табличное значение для sinx: sinx=x/1!-x^3/3!+x^5/ !-…+(?(-1)?^(n+1) x^(2n-1))/((2n-1)!). sin x^2/2=(x^2/2)/1!-(x^ /2)^3/3!+(x^2/2)^5/5 -…. Заменим подынтегральную функцию на полученный степенной ряд. Для заданной точности возьмём два первых члена ряда: ?_0^0,1-?sin x^2/2 dx?=?_0^0,1-?((x^2/2)/ !-(x^2/2)^3/3!+?) dx?. Упростим выражение и вычислим интеграл: ?_0^0,1-?((x^2/2)/1!-( ^2/2)^3/3!+?) dx?=?_0^0,1-?(x^2/2-x 6/(8•6)+?) dx?; + x^2/2-x^6/48+?+| 0,1¦0=(0,1)^2/2-(0,1) 6/48+?-0?0,005-2•?10? (-6)=0,005 Так как уже второй член ряда меньше заданной точности, оставляем только первый член ряда.
Задание 4. Найдите область сходимости степенного ряда.
Используем признак Даламбера: limT(n>?)?|a_(n+1)/a_n |=limT(n>?)?|(((n+1)^2-6) (x-6)^(n+1))/6^(n+1) 6^n/((n^2-6) (x-6)^n )|= =limT(n>?)?|(((n+1)^2-6) (x-6)(x-6)^n)/(6•6^n ) 6^n/((n^2-6) (x-6)^n )|=limT(n>?)?|((n+1)^2-6)(x-6)/ (n^2-6) |= =|x-6| limT(n>?)?((n^2+2n-5)/6(n^2- ) )=1/6 |x-6| limT(n>?)??((n^2/n^2 +2n/n^2 -5/n^2 )/(n^2/n^2 -6/n^2 ))=? =1/6 |x-6| limT(n>?)?((1+2/n-5/n^2 )/(1-6/n^2 ))=1/6 |x-6| limT(n>?)?(1)=1/6 |x-6|. Составляем стандартное неравенство. Ряд сходится при: 1/6 |x-6|<1; |x-6|<6. Область сходимости исследуемого степенного ряда x < 12. Исследуем сходимость степенного ряда в точке x = 12: ?_(n=1)^?-((n^2-6) (12-6)^n)/6^n =?_(n=1)^?-(n^2-6) . Используем необходимый признак сходимости: limT(n>?)??a_n ?=limT(n>?)?(n^2-6)=??0. В точке x = 12 исследуемый степенной ряд расходится. Ответ: x < 12.
Задание 5. Решите дифференциальные уравнения. а) ; (y^2+xy^2 ) dy/dx-1=0. Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. y^2 dy/dx=1/(x+1); y^2 dy=dx/(x+1). Переменные разделены, интегрируем обе части: ?-?y^2 dy?=?-dx/(x+1). Найдём интегралы: ?-?y^2 dy?=y^3/3+const. ?-dx/(x+1)=ln??|x+1|+c nst?. Общий интеграл уравнения имеет вид: y^3/3=ln??|x+1|+const? Представим функцию в явном виде: y=?(3ln??|x+1|+const? ).
б) . Проверим, является ли уравнение однородным: (?x-?y) y^=?x+?y; Сократив ? получим исходное уравнение, следовательно, уравнение является однородным. Воспользуемся методом замены для решения однородного уравнения: y=tx; y^=(tx)^=t^ x+?tx?^=t^ x+t. Тогда уравнение примет вид: (x-tx)(t^ x+t)=x+tx; t^ x+t=(x+tx)/(x-tx); t^ x=(1+t)/(1-t)-t; t^ x=(1+t^2)/(1-t); dt/dx x=(1+t^2)/(1-t); dx/x=(1-t)/(1+t^2 ) dt. Переменные разделены, интегрируем обе части: ?-?(1-t)/(1+t^2 ) dt?=?-dx/x. Найдём интегралы: ?-?(1-t)/(1+t^2 ) dt?=?-dt/(1+t^2 )-?-tdt/(1+t^2 )=arctg(t)-1/2 ln??|1+t^2 |+const? ?-dx/x=ln??|x|+const?. Получаем уравнение: arctg(t)-1/2 ln?|1+t^2 |=ln??|x|+const?. Теперь произведём обратную замену и получим общий интеграл уравнения: arctg(y/x)-1/2 ln?|1+y^2/x^2 |=ln??|x|+const?.
Задание 6. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения. . Уравнение линейное. Произведём замену y=uv; y^=(uv)^=u^ v+?uv?^ и подставим в исходное уравнение: u^ v+uv^+2xuv=2xe^(-x^2 ). Произведём вынесение множителя за скобки: u^ v+u(v^+2xv)=2xe^(-x^ ). Составляем систему. Для этого приравниванием к нулю то, что находится в скобках, автоматически получая и второе уравнение системы: {-(v^+2xv=0@u^ v=2xe^(-x^2 ) )+ Из первого уравнения найдем функцию v: dv/dx=-2xv; ?-dv/v=-2?-xdx; ln?|v|=-x^2; v=e^(-x^2 ). Найденную функцию подставим во второе уравнение системы: u^ e^(-x^2 )=2xe^(-x^2 ); du/dx=2x. u=2?-xdx=2 x^2/2+C; u=x^2+C. Зная, что y = uv, найдём общее решение: y=(x^2+C) e^(-x^2 ),где C-константа. Теперь найдём частное, удовлетворяющее заданному условию. Нужно подобрать такое значение C, чтобы выполнялось условие 1=(1^2+C) e^(-1^2 ); C=e-1; y=(x^2+e-1) e^(-x^2 ).
Задание 7. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным данным. , , . Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения: y^+3y^=0. Составим и решим характеристическое уравнение: ?^2+3?=0; ?_1=-3; ?_2=0; Получены различные действительные корни, поэтому общее решение: Y=C_1 e^(-3x)+C_2 e^0x=C_1 e^(-3x)+C_2. Теперь нужно найти какое-либо частное решение ? неоднородного уравнения. Если в правой части находится ненулевая константа или многочлен, и один из корней характеристического уравнения равен нулю, то «очевидный» подбор частного решения необходимо домножить на x. y ?=x(Ax+B)=Ax^2+Bx; где A, B – пока ещё неизвестные коэффициенты. Найдём первую и вторую производную ?: y ?=2Ax+B; y ?^=2A. И подставим их в левую часть неоднородного уравнения: y ?^+3y ?^=x; 2A+3(2Ax+B)=x; 6Ax+2A+3B=x. Далее необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. {-(6A=1@2A+3B=0)+; A=1/6; B=-1/9. Подставляем найденные значения в наш исходный подбор частного решения: y ?=1/6 x^2-1/9 x. Запишем общее решение неоднородного уравнения: y=Y+y ?=C_1 e^(-3x)+C_2+1/6 x^2-1/9 x. Теперь найдём частное, удовлетворяющее заданному условию , . y(1)=C_1 e^(-3)+C_2+1/6-1/9; 1=C_1 e^(-3)+C_2+1/18. y^=-3C_1 e^(-3x)+1/3 x-1/9; y^ (1)=-3C_1 e^(-3)+2/9; -1=-3C_1 e^(-3)+2/9. {-(C_1 e^(-3)+C_2=17/18@C_1 e^(-3)=11/27)+; C_1=11/27 e^3. C_2=17/18-11/27=29/54. y=11/27 e^3 e^(-3x)+29/54+1/6 x^2-1/9 x=1/54 (?22e?^(3-3x)+29+9x^2 6x+); Частное решение исходного уравнения имеет вид: y=1/54 (?22e?^(3-3x)+29+9x^2 6x+).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При подготовке данной работы были изучены следующие разделы: числовые ряды, гармонический ряд, сходимость числовых положительных рядов, знакочередующиеся ряды, степенные ряды, разложение функций в степенной ряд, приближённое вычисление определённого интеграла, дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения второго порядка и высших порядков, однородные и неоднородные дифференциальные уравнения. В работе решены все индивидуальные задания и получены навыки решения задач.
* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.
